Методическое пособие 166

Системы счисления

Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

Внепозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен десяти.

Впозиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 102 + 5 101 + 7 100 + 7 10–1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Развѐрнутый вид числа:

an–1 qn–1 + an–2 qn–2+ ... + a1 q1 + a0 q0 + a–1 q–1 + ... + a–m q–m,

где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену еѐ следующей по величине.

2

Продвинуть цифру 1 значит заменить еѐ на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить еѐ на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену еѐ на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену еѐ на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью следующего правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неѐ.

Применяя это правило, запишем первые 10 целых чисел:

в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111,

1000, 1001;

втроичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

впятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Кроме десятичной широко используются системы с осно-

ванием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

двоичная (используются цифры 0, 1); восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел – от десяти до пятнадцати – в качестве цифр использу-

ются символы A, B, C, D, E, F).

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Двоичное кодирование

Система кодирования данных, принятая в вычислительной технике, называется двоичным кодированием и основана на представлении данных последовательностью всего двух

3

знаков: 0 и 1 – двоичных цифр. На английском языке «двоичная цифра» – binary digit, откуда было получено сокращение «bit» (бит) – название одного двоичного разряда.

Одним битом могут быть выражены два понятия: 0 или 1

(нет или да, черное или белое, ложь или истина и т.п.). Если количество битов увеличить до двух, то уже можно выразить четыре различных понятия (00, 01, 10, 11). Тремя битами можно закодировать восемь различных значений, и.т.д. Увеличивая на единицу количество разрядов в системе двоичного кодирования, мы увеличиваем в два раза количество значений, которое может быть выражено в данной системе, то есть общая формула имеет вид

N = 2m,

где N – количество независимых кодируемых значений; т – разрядность системы кодирования.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, – как в десятичной;

представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

двоичная арифметика намного проще десятичной. Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа раз-

рядов, необходимых для записи чисел.

4

Занятие 1 Перевод целых и вещественных чисел из десятичной

системы счисления в двоичную и обратно

1) Преобразование целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно

Целые числа кодируются двоичным кодом достаточно просто – достаточно взять целое число и делить его на 2 нацело, записывая рядом остаток от деления, до тех пор, пока в частном не образуется единица. Совокупность остатков от каждого деления, записанная в обратном порядке, вместе с последним частным, равным 1, и образует двоичный аналог десятичного числа.

Таким образом, 1910 = 100112.

Для кодирования целых чисел от 0 до 255 достаточно иметь 8 разрядов двоичного кода (8 бит). Шестнадцать бит позволяют закодировать целые числа от 0 до 65535, а 24 бита — уже более 16,5 миллионов разных значений.

Для обратного преобразования – из двоичной системы в десятичную – нужно сначала пронумеровать все разряды двоичного числа справа налево, начиная с нуля:

4 3 2 1 0

1 0 0 1 1 2

Затем нужно значение каждого разряда умножить на основание системы счисления (т.е. на число 2), возведенное в степень, равную номеру разряда, а результаты сложить:

100112 = 1 24 + 0 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 = 1610 + 210 + 110 = 1910.

На практике обычно нулевые значения разрядов не выписывают, чтобы не загромождать решение.

Другой способ перевести целое десятичное число в двоичную систему также основан на номерах битов двоичного числа. Нужно десятичное число разложить на слагаемые, являющиеся

степенями числа 2. Например: 3710 = 32 + 4 + 1 = 25 + 22 + 20. Затем в двоичном числе установим в 1 биты с номерами 5, 2 и 0:

3710 = 1001012.

5

0,01101012 = 1 2–2 + 1 2–3 + 1 2–5 + 1 2–7 =

Таким образом, исходного числа 0,4210 мы не получили из-за того, что перевод вещественных десятичных чисел в двоичную систему происходит обычно с погрешностью, причиной которой является отбрасывание «хвоста» бесконечной двоичной дроби.

3. Записать числа в двоичной системе счисления (получить 8 двоичных разрядов). Выполнить обратное преобразова-

7

Занятие 2 Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако чтобы профессионально

8