1.5 Многолучевая интерференция

1. До сих пор мы рассматривали интерференцию только двух когерентных волн. Амплитуда результирующего колебания в данной точке определяется выражением:

, (1.21)

где , разность фаз складываемых колебаний.

Если интерферируют две волны с одинаковыми амплитудами , то значения выражаются формулой

. (1.22)

Используя формулу, связывающую разность фаз с оптической разностью хода

(1.23)

и подставляя (1.23) в (1.22), получим

(1.24)

График функции 1.24 представлен на рис.1.11

Рис. 1.11

При интерференции двух волн интерференционная картина характеризуется постепенным изменением освещённости экрана от максимумов к минимумам. Максимумы “размазаны” и поэтому недостаточно чётко выделяются на общем фоне. Освещённость в различных точках экрана пропорциональна энергии результирующих колебаний, т.е. квадрату их амплитуды .

2. Совершенно иной характер имеет интерференционная картина в случае наложения большого числа когерентных волн. Это легко объяснить на примере интерференции волн с одинаковыми амплитудами :

и . (1.25)

Таким образом, энергия результирующих колебаний и освещённость экрана в области интерференционных максимумов пропорциональна квадрату числа интерферирующих волн. В то же время суммарная энергия этих волн пропорциональна , т.е. числу интерферирующих волн. Полная энергия колебаний во всех точках экрана пропорциональна , так как, по закону сохранения и превращения энергии, она должна равняться энергии всех волн. Следовательно, возрастание яркости интерференционных максимумов с увеличением должно сопровождаться их одновременным сужением и соответствующим расширением площади слабоосвещенных участков картины участков картины.

Остановимся на этом вопросе подробнее. Найдём значение амплитуды результирующих колебаний в произвольной точке О интерференционной картины.

, (1.26)

где – число интерферирующих волн.

Для простоты будем считать амплитуды всех волн одинаковыми , а разность фаз в точке О для -ой и -ой волны не зависящей от и равной

Воспользуемся графическим методом сложения амплитуд одинаково направленных колебаний.

На рис 1.12 представлена векторная диаграмма сложения колебаний при интерференции волн, удовлетворяющих вышеназванным условиям. Амплитуда результирующих колебаний

,

где ,

Рис.1 .12

, поэтому

, следовательно, интенсивность

, (1.27)

где - интенсивность колебаний, возбуждаемых в точке О каждой из – интерферирующих волн порознь.

Главные максимумы интерференции волн наблюдаются в тех точках О, для которых углы либо равны 0, либо кратны , так что векторная диаграмма сложения колебаний имеет вид, показанный на рис. 1.13.

Т аким образом, условие главных максимумов имеет вид

Рис. 1.13

(1.28)

где - порядок главного максимума.

Амплитуда и интенсивность колебаний в главных максимумах равны

(1.29)

Интерференционные минимумы ( ) удовлетворяют условию

, (1.30)

где принимает любые положительные значения, кроме кратных . Между каждой парой соседних интерфереционных минимумов находится один максимум – либо главный, либо побочный.

Двум минимумам, ограничивающим главный максимум n-ого порядка, соответствуют значения , поэтому “ширина” главного максимума, равная , обратно пропорциональна числу - интерферирующих волн, а его интенсивность пропорциональна .

Х арактер зависимости от , рассчитанный по формуле (1.21) показан на рисунке 1.14.

N=5

N=4

N=3

N=2

Из формулы (1.27) следует, что при интерференции когерентных волн между двумя соседними плавными максимумами располагаются ( ) добавочных минимумов и ( ) добавочных очень слабых максимумов. На рис 1.14 представлен характер зависимости интенсивности от сдвига фаз для разного количества интерферирующих волн.

Рис. 1.14