4. Расчет электромагнитных полей излучающих систем в дальней, промежуточной и ближней областях

При теоретических исследованиях излучающие системы антенн обычно предполагаются расположенными в неограниченном однородном пространстве. Это существенно облегчает задачу расчета электромагнитных полей и сохраняет возможность впоследствии учесть влияние Земли и окружающих предметов с помощью мето­дов теории дифракции.

Как известно из основ электродинамики, векторные потенциалы электромагнитного поля, создаваемого известным распределением возбуждающих электрических и магнитных токов в произвольной точке наблюдения , определяются вы­ражением:

(17)

где — расстояние между точками наблюдения Р и интегрирования Q; ; V — объем, занима­емый токами излучающей системы.

Выражение (17) представля­ет строгое решение векторных неоднородных уравнений Гельмгольца. Это решение яв­ляется единственным, поскольку удовлетворяет условию излучения на бесконечности и имеет всюду конечное значение. Далее можно определить векторы полей Е и Н для любой точки пространства. Сокращенно можно записать:

где и — векторные интегродифференциальные операто­ры, задающие последовательность вычислений нужных компонен­тов поля. Операторы и ставят в соответствие заданному распределению электрических или магнитных токов в области V распределение полей E и Н в пространстве. Эти операторы яв­ляются строгими и применимы при любых взаимных расположе­ниях точек источников и точек наблюдения. Однако, идя по такому пути, как правило, не удается получить простых замкнутых выра­жений даже для сравнительно простых излучающих систем. По­тому приходится прибегать к упрощающим предположениям, связанным с разбиением пространства на дальнюю, промежуточную и 6лижнюю области.

Введём сферическую систему координат центр которой помещен внутри излучающей системы (рис. 18, а). Пусть точки и Р(х, у, z) изображают соответственно текущую точку интегрирования внутри излучающей системы и точку наблюдения в окружающей однородной среде. Расстояние , входящее в формулу (17), равно:

(18)

где – угол между направлениями OQ и ОР.

Если R>R' и точка наблюдения находится на достаточном удалении от объема с излучающими токами, то расстояние можно приближенно представить в виде ряда по степеням отношения:

Пусть , что соответствует наиболее важной для теории ан­тенн области дальнего поля (часто называемой дальней зоной, а также областью Фраунгофера).

Рис. 18. К расчету электромагнитных полей излучающих систем: а — общий случай; б — точка наблюдения в дальней зоне

Тогда формула (17) упрощается:

1) в знаменателе подынтегрального выражения приближенно можно положить r=R, тогда множитель 1/R выходит из-под знака интеграла;

2) в показателе экспоненты под интегралом можно положить , тогда функция также выходит из-под знака интеграла.

Более аккуратный подход к замене r на приближенное выраже­ние в показателе экспоненты объясняется тем, что здесь отбрасыва­емые члены должны быть малы по сравнению с величиной , т. е. с периодом экспоненты с мнимым показателем. Фактически второе предположение означает, что лучи, проведенные в точку наблюдения дальней зоны из начала координат и из текущей точки интегриро­вания Q, считаются параллельными (рис. 18, б). Добавок к величине r носит название разности хода лучей. Разность хода учитывает относительное запаздывание сферических волн, приходя­щих в точку наблюдения от двух элементарных источников, располагающихся в начале координат и в точке Q(x', у', z').

Разность хода фактически представляет собой проекцию (рис. 18, б) вектора на направление единичного вектора, исходящего из начала координат в точку наблюдения:

(19)

Перемножая скалярно эти векторы, находим явное выражение для разности хода:

(20)

Используя введенные в формулу (17) упрощения, приходим к асим­птотической формуле для векторного потенциала в дальней зоне:

(21)

Здесь индекс показывает, что это выражение справедливо при .

Как следует из (20), значение интеграла (21) зависит только от угловых координат точки наблюдения и не зависит от расстоя­ния R. Для перехода от векторных потенциалов к векторам по­лей Е и Н в дальней зоне необходимо выполнить операции простран­ственного дифференцирования. После ряда тождественных преобразований, а также отбра­сывания членов, имеющих радиальную зависимость (или ), т. е. несущественных в дальней зоне, получаем следующие расчет­ные соотношения:

(22)

где — характеристическое сопротивление среды. В практических расчетах вычисление интегралов типа Удобно производить через декартовы составляющие:

(23)

Переходя затем к сферическим координатам с помощью соотно­шений

(24)

Сформулируем главные свойства электромагнитного поля излучающей системы в дальней зоне:

1. Поле дальней зоны имеет поперечный характер, т. е. составляющие векторов Е и Н в направлении распространения волны от­сутствуют.

2. Поле в окрестности точки наблюдения в дальней зоне носит характер плоской электромагнитной волны, т. е. компоненты и , а также и находятся в фазе и их отношение равно харак­теристическому сопротивлению среды.

3. Зависимость поля от расстояния R имеет вид расходящейся сферической волны . Однако эквифазные поверхности для каждого компонента поля не являются в общем случае сфера­ми с центром в начале координат, поскольку и — комплекс­ные функции, зависящие от углов , а начало координат выбра­но нами произвольно.

4. Угловое распределение составляющих вектора Е в дальней зоне не зависит от расстояния R и может быть охарактеризовано функциями

(25)

где и — направления максимального излучения для со­ответствующих компонентов. Функции и называ­ются нормированными диаграммами направленности по полю для соответствующих составляющих.

Иногда свойство 4 используют в «обращенном» виде, т. е. от­носят к дальней зоне те точки наблюдения, для которых угловые за­висимости поперечных компонентов поля не зависят от расстояния до антенны.

5. Поток мощности излучения в дальней зоне всегда направлен радиально. Плотность потока мощности равна радиальной состав­ляющей вектора Пойнтинга .

Поскольку , получаем

(26)

Мнимая часть вектора Пойнтинга в дальней зоне равна нулю. Та­ким образом, плотность потока мощности в каждом направлений определяется как сумма независимых плотностей потоков мощ­ности, определяемых меридиональной и азимутальной составляю­щими поля.

Угловая зависимость

(27)

где — модуль вектора Пойнтинга в направлении максимального излучения , называется нормированной диаграммой направленности по мощности.

Установим теперь, на каком расстоянии от излучающей систе­мы можно пользоваться формулами (21) и (22) для расчета полей, т. е. найдем границу дальней зоны. Основное упрощение, которое нами использовалось, заключается в замене точного выражения приближенным . Возника­ющая из-за этого фазовая ошибка в показателе подынтегральной экспоненты в (17) оказывается приб­лиженно равной .

Так как максимальное значение R' составляет примерно поло­вину наибольшего размера излучающей системы D, то наибольшая фазовая ошибка может составить . Полагая допустимую фазовую ошибку равной , после не­сложных преобразований получаем искомую оценку расстояния до ближней границы дальней зоны При увеличении разме­ра излучающей системы в длинах волн граница дальней зоны быст­ро отодвигается. Если , то дальняя зона начинается с рас­стояний , а при начало дальней зоны соответ­ствует расстоянию 20 000 .

Так как диаграммы направленности (ДН) антенн определяют угловую зависимость полей излучения именно в дальней зоне, то выполнение условия является важным требованием при экспериментальном снятии ДН с помощью пробной приемной ан­тенны, перемещаемой по сферической поверхности вокруг исследу­емой антенны.

При расстояниях дальняя зона излучающей системы плавно переходит в промежуточную область, иногда называемую областью Френеля. При расчете полей излучающих систем в про­межуточной области делаются следующие упрощения:

1. Как и в случае дальней зоны, величина в знаменателе подынтегрального выражения (17) принимается приближенно рав­ной R и выносится из-под знака интеграла.

2. В показателе экспоненты подынтегральной функции в (17) принимается , что соответст­вует отбрасыванию в степенном ряду (18) членов выше второй сте­пени. Функция , не зависящая от координат источников, выносится из-под интеграла.

Таким образом, в промежуточной области векторные потенциалы определяются по формуле:

(28)

где разность хода по-прежнему определяется формулой (20)

3. При выполнении операций пространственного дифференци­рования отбрасываются все члены, имеющие радиальную зависимость и , аналогично тому, как это делалось при вычислении полей дальней зоны. Следовательно, компоненты векторов поля Е и Н в промежуточной области могут быть найдены по формулам (22) с заменой в них векторных потенциалов на векторные потенциалы .

Сформулированные ранее выводы о поперечном характере дальнего поля и о его локальном подобии плоской электромагнитной волне в окрестности любой точки наблюдения сохраняются и в промежуточной области. Однако зависимость поля от расстояния уже не имеет характера сферической волны , так как рас­стояние R дополнительно входит в показатель степени подын­тегральной экспоненты в (28). Расчеты показывают, что из-за этого в промежуточной области на монотонное убывание поля по закону 1/R накладывается осциллирующее затухающее колебание. Угловое распределение составляющих векторов поля оказывается зависящим от расстояния R, т. е. ДН излучающей системы в про­межуточной области искажаются тем сильнее, чем меньше R. Ана­лиз точности приближения промежуточной зоны показывает, что расстояние R должно находиться в пределах

(29)

где D — максимальный размер излучающей системы.

Величина D/4 в левой части неравенства играет роль только для очень малых антенн и учитывает амплитудную ошибку, возника­ющую в связи с заменой на с последующим вынесением 1/R из-под знака интеграла. При промежуточная об­ласть охватывает пределы . С увеличением разме­ра антенны промежуточная область расширяется и при охватывает расстояния от до . Более строгое рассмот­рение показывает, что границы промежуточной и дальней областей излучающей системы зависят не только от расстояния R, но и от углов наблюдения. Эти границы зависят также от формы излучающей системы антенны и характера распределения токов

На расстояниях, меньших нижней границы промежуточной об­ласти, располагается ближняя зона излучающей системы. В этой области электромагнитное поле имеет сложный характер и при его расчете необходимо пользоваться строгими операторами. В ближней зоне в общем случае присутствуют все компоненты по­ля, зависимость поля от расстояния R носит нерегулярный харак­тер, вектор Пойнтинга становится комплексным и по направлению может не совпадать с радиусом-вектором R.

В ближней зоне излучающей системы сосредоточивается неко­торый запас электромагнитной энергии, как правило, затрудняющий хорошее согласование входа антенны в широкой полосе частот.