1. Операционное исчисление

1.1. Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции действительного переменного называется функция комплексного переменного , определяемая формулой

. (1.1)

Функция называется оригиналом и должна удовлетворять условиям:

1) — кусочно-непрерывная однозначная функция ;

2) ;

3) .

Эти условия обеспечивают абсолютную сходимость несобственного интеграла (1.1) в полуплоскости .

Функцию называют изображением для , она является аналитической в области . Соответствие между оригиналом и его изображением обозначают символически или . Для нахождения изображений наряду с формулой (1.1) могут быть использованы следующие свойства:

1. Линейность. Если , , то , где — любые комплексные постоянные.

2. Теорема подобия. Если , то .

3. Смещение изображения. Если , то , где —любое комплексное число.

4. Запаздывание оригинала. Если , то для любого . Здесь — единичная функция Хэвисайда, которая равна 1 при и нулю при .

5. Дифференцирование оригинала. Если функции являются оригиналами и , то

,

……………………….. (1.2)

6. Дифференцирование изображения. Если , то

,

……………….…….

.

7. Интегрирование оригинала. Если , то

.

8. Интегрирование изображения. Если и является оригиналом, то .

9. Изображение периодической функции. Если , где и , а — периодическая функция , то

. (1.3)

10. Умножение изображений. Если , , а и непрерывны на промежутке , то

. (1.4)

11. Формула Дюамеля. Если , , то

Таблица основных операционных соотношений

№	1	2	3	4	5	6
		t

7	8	9	10	11

Пример 1. Найти изображения функций и , если .

Решение. Преобразуем функцию к виду:

Используя свойства 1 и 3 и таблицу изображений, получаем

По формуле (1.2) имеем:

.

Пример 2. Найти изображение периодической функции (рис. 1)

Рис. 1. Рис. 2.

Решение. Очевидно и Т=2, тогда (рис. 2)

Применяя теорему запаздывания, получим:

По формуле 1.3 имеем

.

1.2. Обратное преобразование Лапласа

Рассмотрим теперь обратную задачу: по известному изображению будем находить оригинал . Сделать это по формуле обращения

крайне затруднительно, поэтому при отыскании оригиналов следует использовать таблицу изображений, свойства преобразования Лапласа и теорему разложения: если — изолированные особые точки дробно-рационального изображения , то оригинал находится по формуле

. (1.5)

При этом в полюсе кратности “n” вычеты вычисляются по формуле

(1.6)

а в простом полюсе

. (1.7)

В этом случае, если все особые точки являются простыми полюсами, то (1.5) принимает вид [2]

. (1.8)

Пример 3. Найти оригинал для изображения

.

Решение. Приравняв нулю знаменатель найдем три изолированные особые точки: . Все они являются простыми полюсами поэтому воспользуемся формулой (1.8), предварительно вычислив . Тогда

.

Пример 4. Найти оригинал изображения

.

Решение. Применяя теорему умножения получим:

.