3.3. Конечные автоматы

Рассмотрим вкратце еще одну вычислительную модель, эквивалентную уже изученным моделям, – модель вычислений на конечных автоматах.

Детерминированным конечным автоматом называется конечная система где

Q – непустое множество состояний,

 – непустой выходной алфавит,

– функция переходов,

– начальное состояние,

– множество заключительных (принимающих) состояний,

– функция печати (функция выходов).

Выберем некоторое слово w=s₁…s_n и зададим работу автомата М на слове w. На первом шаге автомат находится в начальном состоянии q₀ и после прочтения первого символа s₁ слова w определяется состояние После этого автомат переходит в состояние и при наличии непустой информации, выдаваемой значением , это значение подается на выход. Продолжая последовательность читать слово w и определяя состояния по функции t (где ), на каждом шаге выводится соответствующая информация (если она не пуста). Работа автомата заканчивается после прочтения символа , не принадлежащего выходному алфавиту  , а если слово w принадлежит то после прочтения всего слова.

Входное слово w называется представимым автоматом М, если состояние, в которое переходит М после прочтения слова w, принадлежит множеству F.

Изображением автомата М называется изображение помеченного графа, состоящего из множества вершин Q с выделенными вершинами из множества F, а также из множества дуг где каждая дуга помечается символом s_j, который определяется из соотношения а если , то соответствующим словом При этом каждая дуга может иметь несколько таких меток, а вершина q₀ дополнительно помечается входящей дугой.

Пример. Рассмотрим конечный автомат М, изображенный на рис. 3.4. Автомат М имеет четыре вершины – q₀, q₁, q₂, q₃. При этом входящая вершина q₀ выделена и образует одноэлементное множество заключительных состояний F. Функция печати для всех дуг выдает пустые значения, т. е. не дает никакой информации на выход.

При чтении слова автоматом М возникает последовательность состояний q₀q₁q₂q₁q₀q₁. Поскольку состояние q₁ не является заключительным, слово w не представимо автоматом М. Нетрудно заметить, что произвольное непустое слово представимо в автомате М тогда и только тогда, когда w содержит четное число символов а и четное число символов b.

Пример. Рассмотрим конечный автомат М, изображенный на рис. 3.5.

Автомат М для любой пары чисел, записанных в двоичной системе счисления (т. е. для двух последовательностей нулей и единиц), вычисляет и выводит их сумму. При этом данные начинаются с битов, имеющих наименьшие разряды, и числа читаются справа налево. Недостатком автомата М является то, что он не распознает условий переполнения и не работает с отрицательными числами.

Пример. Конечный автомат М, изображенный на рис. 3.6 является модификацией автомата из предыдущего примера и позволяет на выходах q₀ и q₁ получать арифметически правильную сумму двоичных чисел. При этом с помощью состояний q₂ и q₃ проверяется наличие ошибок, связанных с внесением значений и знаковый бит и их вынесением из знакового бита.

Отметим, что аналогично машинам Тьюринга любой конечный автомат можно проинтерпретировать в виде конечного автомата с алфавитом

Конечная система называется недетерминированным конечным автоматом, если – соответствующие элементы детерминированного конечного автомата, а функция переходов t каждой паре ставит в соответствие некоторое, не обязательно одноэлементное, подмножество множества т. е. выдает несколько значений из Q, в которое может поместиться пара (q,s).

Таким образом, отличие недетерминированного конечного автомата состоит в том, что функция переходов является многозначной.

Использование недетерминированных конечных автоматов упрощает задачу построения сложных машин. Ниже будет установлено, что любой недетерминированный конечный автомат может быть естественным образом проинтерпретирован в виде детерминированного конечного автомата.

Определим множество А(М) слов алфавита , представимых недетерминированным конечным автоматом М. Пусть - некоторое слово алфавита . Определим по интуиции множество T(w), положив

Очевидно, T(w) – множество всех состояний автомата М, которые могут быть достигнуты под действием входного слова w. Будем говорить, что слово w представимо автоматом М, если . Таким образом, }.

Теорема. Для любого недетерминированного конечного автомата М₁ существует детерминированный конечный автомат М₂ для которого А(М₁)=А(М₂).

Доказательство. Рассмотрим недетерминированный конечный автомат и построим детерминированный конечный автомат с условием А(М₁)=А(М₂). Положим

Функцию p₂ зададим произвольно, а функцию t₂ определим по шагам:

1)

2)

3) если на шаге некоторое значение уже определено, то

4) на множествах , для которых значение не задается ни на каком шаге, описанном в пп. 1 – 3, положим для определенности .

Непосредственно проверяем, что построенный таким образом детерминированный автомат М₂ является искомым.

Задачи и упражнения

1. Доказать, что следующие функции есть примитивно рекурсивные:

a) f (х) = х + n; б) f (x) = n; в) f (x) = x !

2. Какие функции могут быть получены с помощью базовых и схемы примитивной рекурсии:

а) g (х) = J_1,1; h (х; у; f (х; у)) = f₊ (J_3,1; J_3,3);

б) g (х) = J_1,1; h (х; у; f (х; у)) = f₊ (J_3,1; J_3,2);

в) g (х) = J_1,1; h (х; у; f (х; у)) = f₊ (J_3,2; J_3,3);

3. Применить операцию минимизации к функции f по переменной у. Найти области определения и значения функции .

a) f (a; y) = [y/2]; б) f (x; y) = (x - 2y); в) f(x; y) = (x² - 2y).

4. Построить машину Тьюринга для вычисления функций:

a) f (x) = x/2; б) f (x) = Sg x; в) f (x) = [x/2].

5. Какую функцию вычисляет машина Тьюринга со следующей программой команд:

Т : q_í #  q₁ # n ;

q_í |  q₁ # п ;

q₁ #  q₂ # с ;

q₁ |  q₁ | n .