тмиэт / тмиэт / Alford Terri M. _Fundamentalnye osnovy analiza nanoplenok (1)

где энергия в лабораторной системе отсчета дается выражением

Е = Ес(1 + х).

Формулу для сечения рассеяния удобно вывести в зависимости от в их. С уче­

том того, что

1 + х = (sin ( +sin О)/ sin О,

sin(Oc/2) sin2 (0c/2) = cot(Oc/2),

т. е. формулу (2.19).

Задачи

2.1.Ионы 4Не++ рассеиваются под углом е тонкой фольгой толщиной tl ИЗ матери­ ала с плотностью pI' в состав которого входит единственный элемент с атом­

ным числом Zl' и массовым числом А1 Фольгу заменяют да другую с параме­

трами Z2, А2, р2 и t2' Найти отношение числа частиц, рассеянных под углом 8, первой и второй фольгами под одним и тем же углом е.

2.2.Пучок ионов гелия с энергией 2 МэВ падает на серебряную фольгу толщиной 1о-6 см и претерпевает Кулоновское рассеяние в соответствии с формулой Ре­

зерфорда.

(а) Найти минимальное расстояние сближения ионов гелия с ядрами атомов ми­

шени.

(б) Найти прицельный параметр для ионов Не+, рассеиваемых под углом 90°.

(в) Какая часть падающих частиц Не+ с энергией 2 МэВ будет рассеиваться назад,

т. е. е > 90°?

Плотность серебра - 10,50 г/см3 , атомный вес - 107,88 г/моль. [Подсказка: сум­ марная величина поперечного сечения рассеяния частиц в сектор от 0° до 90°

2.3. Альфа-частица 4Не+ испытывает лобовое столкновение с находящимся в состо­ янии покоя (а) ядром атома золота, (б) ядром атома углерода, (в) альфа-части­ цей, (г) электроном. Какая часть кинетической энергии альфа-частицы перейдет другой частице в результате столкновения в каждом из перечисленных случаев?

2.4(а) Используя формулы для поперечного сечения резерфордовского рассеяния

всистеме центра масс и соотношения для энергии отдачи (2.7), а также тот

факт, что ср = п/2 - ()/2 (см. рис. 2.16), вычислить поперечное сечение перехода

энергии Е2 к ядру атома мишени daldE2 • Подсказка:

(б) Используя результат части (а), проинтегрировать da/dE2 в пределах от Emin

(в) Оценить величину найденного в (б) полного сечения перехода энергии в см2 в случае рассеяния ионов гелия с энергией 1 МэВ на атомах кремния. В

52 Глава 2

вычислениях использовать величину энергии, необходимой для выбивания атома Si из кристаллической решетки, Emin = 14 эВ. Сравнить полученный

результат с aRиth (В= 180°).

(г) Используйте результат оценки (в), чтобы вычислить долю выбитых атомов (т. е. долю атомов, получивших энергию больше 14 эВ) в результате воздей­ ствия пучка ионов Не+, общий заряд которых составляет 10-6 Кл, а диаметр пучка 1 мм. Этот результат является нижним уровнем для оценки количества выбитых из решетки атомов, поскольку мы пренебрегаем смещениями атомов Si в результате эффекта отдачи.

2.5. Известно, что на поверхности углеродных пленок присутствуют примеси Аи, Ag и Si. Изобразите форму спектра обратного рассеяния с указанием энергий

различных пиков и их относительных интенсивностей.

2.6. Ускоритель частиц выдает поток ионов Не+ с интенсивностью, соответствую­ щей силе тока 50 нА, и с энергией 1 МэВ. Пусть детектор частиц, размером 1

см2, расположен на расстоянии 5 см от мишени в направлении, определяемым

углом В = 170°. Определить наименьшее возможное количество атомов Аи (в

атомах/см2), которое может быть зарегистрировано в этих условиях. Чувстви­

тельность детектора определить условно в единицах, равных 100 отсчетам в 1 час. При тех же условиях определить наименьшее детектируемое количество

атомов кислорода. Сравнить полученные значения с количеством атомов в од­

ном монослое(::::: 1015 атомов/см2).

2.7. Вывести выражение для Е2 (2.7'), энергии, передаваемой атому мишени в про­

цессе столкновения, используя законы сохранения энергии и импульса систе­

мы. Привести выражение для отношения Е/Е0 при В= 90°.

2.8. Используя приближение малых углов (sine = е), показать, что величина по­ перечного сечения рассеяния может быть выражена как а(В) = (Z1Z2e2/E)2(8)-4•

Вывести эту формулу, используя приближение, в котором сила, Z1Z2e2/b2 , дей­

ствует на частицу в течение эффективного промежутка времени t = l/v, где l =2Ь. (Подсказка: на промежуточном шаге вывода показать, что Ь = Z1Z2e2/EB.)

Литература

1.W. К. Сhи, J. W. Mayer, and М.-А. Nicolet, Backscattering Spectrometry (Academic Press, New York, 1978).

2.Н. Goldstein, Classical Mechanics (Addison-Wesley, Reading, МА, 1959).

3.J.W. Mayer and Е. Rimini, !оп Веат Handbook for Material Analysis (Academic Press, NewYork, 1977).

4.F. К. Richtmyer, Е. Н. Kennard, and Т. N. Cooper, lntroduction to Modern Physics, бth ed. (McGraw-Hill, New York, 1969).

5.Р. А. Tipler, Modern Physics (Worth PиЫishers, New York, 1978).

ГЛАВАЗ

Получение распределений по глубине с помощью обратного рассеяния с использованием

измерений потерь энергии легких ионов

3.1. Введение

Впредыдущей главе неявно предполагалось, что идентифицируемые атомы

располагаются на поверхности твердого тела. В этой главе мы рассмотрим, как

профили распределения состава материалов по глубине могут быть получены с помощью спектрометрии резерфордовского обратного рассеяния (СРОР) и анали­ за ядерных реакций. В этом случае характерная глубина задается потерями энер­

гии dE!dx легких ионов (Н+, d+ и Не+) с высокими энергиями (0,5-5 МэВ) при их

прохождении через твердое тело (см. рис. 3.1). Эти потери энергии прямо про­

порциональны толщине материала, через который проходит частица, и поэтому

характерные глубины могут быть непосредственно и численно связаны с энерге­

тическими спектрами регистрируемых частиц. Количество обратно рассеянных частиц или продуктов их взаимодействия с веществом пропорционально попе­

речному сечению рассеяния или взаимодействия, соответственно. Таким образом, зная величину потерь энергии и поперечного сечения, можно получить профиль

распределения по глубине.

3.2.Общие закономерности и единицы измерения для потерь энергии

Вслучае легких ионов (таких как 4Не+), проникающих в глубь твердого тела, частицы теряют энергию, прежде всего, в результате процессов возбуждения и ионизации в ходе неупругих столкновений с электронами атомов - для обозначе­ ния этого явления используется термин электронные потери энергии. На микро­ уровне передача энергии частицей на возбуждение и ионизацию атомов среды представляет собой дискретный процесс. Однако на макроуровне более правиль-

3.3. Потери энергии легких ионов высоких энергий в твердых телах

3.3.1. Используемые диапазоны энергий

При движении ионов Не+ или Н через вещество они теряют энергию в резуль­

тате взаимодействий с электронами, которые по этой причине переходят в воз­ бужденное состояние или покидают атом. Радиус ядра атома настолько мал по

сравнению с размером самого атома, что рассеяние на ядрах атомов происходит

значительно реже по сравнению с взаимодействиями с электронами; следователь­

но, в первом приближении можно пренебречь ядерными взаимодействиями при

рассмотрении процессов замедления.

Теоретическое рассмотрение неупругих столкновений заряженных частиц с

атомами или молекулами мишени проводится отдельно для быстрых и для мед­ ленных соударений. Критерием разделения между этими случаями служит соот­ ношение между скоростью налетающей частицы и средней орбитальной скорости электронов атома или молекулы в оболочке или подоболочке данного атома ми­ шени. Когда скорость налетающей частицы v намного больше орбитальной ско­ рости электрона (случай быстрого столкновения), то влияние частицы на атом

мишени можно рассматривать как малое внешнее возмущение, действующее

короткое время. Такая картина приводит к теории торможения Бора. В процессе

столкновения происходит мгновенная передача энергии от налетающей частицы

к электрону атома мишени. Потеря энергии быстрой частицей в результате и ее передача неподвижному ядру или электрону может быть вычислена в соответ­

ствии с закономерностями рассеяния в центральном силовом поле. Поперечное

сечение торможения уменьшается с ростом скорости потому, что сокращается

время нахождения частицы вблизи атома. При низких энергиях (малые скорости) это соображение теряет силу и поперечное сечение торможения оказывается про­ порциональным скорости частицы. Максимум сечения торможения находится

при некотором промежуточном значении скорости при энергии, разделяющей эти

две области. В спектрометрии обратного рассеяния имеют дело с энергиями около

максимума и выше него.

Полезно оценить нижнюю границу энергии режима быстрых столкновений,

чтобы сравнить скорость частицы или ее энергию со скоростью Бора v0 электрона, находящегося на самой близкой к ядру орбите:

Такая скорость эквивалентна той, которую имеют ионы гелия с энергией 0,1 МэВ или ионы водорода с энергией 25 кэВ. Как показано на рис. 3.2, величины потери энергии достигают максимума около 0,5 МэВ для ионов Не, рассеивае­ мых в Al. В этом высокоэнергетичном, высокоскоростном режиме значения dE/dx

пропорциональны Z/ при одной и той же скорости. Штриховая линия и линия с

квадратами на рис. 3.2 показывают значения потерь энергии для ионов 4Не+ в Al,

уменьшенные в 4 раза (Zш2/Zш/ = 1/4) и отнесенные к энергии, в 4 раза меньшей,

чем на графике для ионов Не (М/Мне = 1/4), т. е. при том же значении скорости. Считается, что при прохождении через вещество частицы Не и Н полностью ио­ низованы (Не++ или альфа-частица, н+ или протон) - скорость частиц настолько

высока, что они теряют все свои электроны. При меньших скоростях средний за­ ряд налетающей частицы становится меньше и число электронов среды, которые

могут быть возбуждены при взаимодействии, также становится меньше; следова­

тельно, потери энергии уменьшаются.

3.3.2. Вывод выражения для dE/dx

В 1913 году Бор получил выражение для потерь энергии заряженных частиц

на основе классических представлений. Он рассматривал тяжелую частицу, та­ кую как альфа-частица или протон, с зарядом Z1e, массой Ми скоростью v, про­ ходящую на расстоянии Ь от электрона массой те, входящего в состав атома (рис. 3.3). Сила Кулона, действующая на электрон при пролете такой тяжелой части­

цы, постоянно меняет свое направление. Если смещением электрона во время

движения тяжелой частицы можно пренебречь, то составляющая импульса, fFdt,

параллельная траектории движения частицы, равна нулю в силу симметрии, по-

ЭНЕРГИЯ, КЭВ

Рис. 3.2. Поперечное сечение торможения е = (l/N)d.Eldx и скорость потерь энергии d.E/d.x

для ионов гелия и водорода в алюминии. Квадратами отмечены данные, полученные для водорода из результатов измерений для ионов гелия посредством оценки энергии тормо­

жения для тех же значений скоростей (Е/4) и изменением масштаба на 4 для учета зависи­ мости от Z1 • Атомная плотность алюминия равна 6· 1022 атомов/см2

Рис. 3.3. (а) Схема пролета тяжелой частицы с зарядом Z1e на расстоянии Ь от электрона (б) Цилиндрический слой радиусом Ь и толщиной db, ось которого освпадает с траектори­ ей движения тяжелой частицы

скольку для каждого положения с координатой «- х» можно найти положение с

координатой «+х», что дает равные и противоположно направленные вклады в проекцию импульса на ось х. Однако на всей траектории движения имеется сила,

направленная вдоль оси у, и электрону передается импульс Лр. Задача вычисления переданной энергии аналогична выводу формулы для резерфордовского обратного рассеяния в кулоновском силовом поле, изложенному в главе 2, если полагать элек­

трон двигающимся навстречу падающей частицы с той же скоростью v. Импульс, передаваемый электрону за все время прохождения мимо частицы поэтому равен

где мы использовали равенство 2.15а для ()::::: (]°, т. е. в приближении малых углов. Если электрон не достигает релятивистской скорости, то его энергия будет

(3.3)

где Т- передаваемая в результате столкновения энергия.

Дифференциальное сечение da(T) для передачи энергии в интервале от Т до Т+ dT равно

а потери энергии на единицу длины dE!dx равны

Tmin

где п - число электронов в единице объема вещества. Используя прицельный па­ раметр Ь, получаем

частица сталкивается с электроном, максимальная величина передаваемой ему скорости равна 2v. Соответствующая максимальная кинетическая энергия (для

нерелятивистской скорости) равна Ттах = m(2v)212 = 2mv2• Если подставить это

(3.8)

Если Ьтах положить равным бесконечности, то -dE!dx также будет стремиться к бесконечности из-за передачи неограниченного числа небольших порций энергии удаленным электронам. Однако наименьшая энергия, которая может быть полу­ чена электроном атома, должна быть достаточна для того, чтобы перевести его в разрешенное возбужденное состояние. Если 1 представляет среднюю энергию

Эти вычисления основаны на рассмотрении прямых столкновений с электро­ нами твердого тела. Существует еще одно слагаемое того же порядка, возникающее из-за резонансной передачи энергии при взаимодействии на больших расстояниях.

Рассмотрение этого вклада находится вне рамок данной книги, но приводит в про­

стейшей форме к удвоению полной энергии торможения, как показано выше, т. е.

где Е = М1v212 и п = NZ2 , N - концентрация атомов в тормозящей среде.

Таким образом, можно считать, что электронные взаимодействия состоят из

процессов двух типов: (1) взаимодействие на небольшом расстоянии, сопрово­ ждающееся передачей большого импульса, когда падающая частица сближается с ядром на расстояния меньшие по сравнению с радиусом орбит электронов, и (2) удаленное взаимодействие с передачей небольшого импульса, когда падающая ча­ стица остается за пределами электронных орбит. Оба этих вклада приблизительно равны (правило равного распределения) для значений скоростей частиц, изполь­ зующихся в резерфордовском обратном рассеянии.

Средняя энергия возбуждения 1 для большинства элементов примерно равна 1OZ2 эВ, где Z2 - атомное число для атомов мишени. Экспериментальные и рас­ четные величины 1 приведены на рис. 3.4. В этом описании энергии торможения до сих пор не учитывалась структура электронных оболочек атома и различия в значениях энергий связей электронов. В эксперименте эти эффекты проявтrчют себя в виде малых отклонений (за исключением наиболее легких элемеюv.;) от приближения 10Z2 (см. рис. 3.4).

Формула для полной потери энергии (часто называемая формулой Бете) со­ держит в себе поправки, включающие релятивистские слагаемые для больших скоростей, а также поправки, обусловленные тем, что сильно связанные электро­

ны внутренних оболочек не дают вклада в торможение. Для ионов гелия с энергий

порядка нескольких МэВ релятивистские эффекты пренебрежимо малы и практи­ чески все электроны мишени (п = NZ) участвуют в процессе торможения. Сле-

Рис. 3.4. Средняя энергия ионизации, расчитанная в соответствии с теорией Линдхар­ да и Шарфа с использованием распределения Хартри - Фока - Слэтера. Рассчитанная зависимость l IZ от атомного номера обнаруживает структуру, наблюдаемую во многих

экспериментах [W.K. Chu, D. Powers, Phys. Lett. 40А, 23 (1972)]