Поглощение фотонов в твердых телах и расширенная... |
241 |
ка, а синусоидально осциллирующий множитель зависит от межатомных рассто
яний (2kR.) и фазового сдвига ф . Важной частью этого выражения является член,
J |
у |
пропорциональный sin(2kRj + Ф;)· Измеряя J(k) и применяя преобразование Фурье
по k, можно получить значение R.. На рис. 9.10 показан пример таких измерений
J
и их Фурье-преобразования.
Способность определять локальную структуру вокруг определенного атома с помощью PPCПTC-EXAFS используется для исследования катализаторов, мно гокомпонентных сплавов, разупорядоченных и аморфных твердых тел, а также примесей и атомов на поверхности. Модификации метода PPCПTC-EXAFS для
исследования поверхности (поверхностная РРСПТС или SEXAFS от английского surface EXAFS) используется для определения положения и длины связи абсор
бированных атомов на чистых поверхностях монокристаллов. такая ПРРСПТС
ЕХАFS является важным инструментом исследования структуры; необходимость
виспользовании мощных источников излучения в таких экспериментах приводит
киспользованию возможностей, предоставляемых синхротронным излучением.
9.10.Нестационарная теория возмущений
9.10.1.Золотое правило Ферми
Вданном разделе дается краткий обзор теории возмущений, которая приводит
косновной формуле для вероятности переходов в кантовой системе. Эта формула
является отправной точкой при нахождении поперечных сечений процессов, при
водимых в книге.
ГЕРМАНИЙ
4
3
2
ГЕРМАНИЙ
|
о..,,..~~--__..~_._~~...... |
|
||||
• |
11.0 |
11.4 |
11 в |
122 |
0.2 0.4 0.6 0.8 1.D |
|
ЭНЕРГИЯ ФОТОНА, кэВ |
ь |
R.нм |
||||
|
||||||
Рис. 9.10. (а) Спектр поглощения кристаллического германия при температуре 100 К.
Острый пик около 11 кэВ представляет собой К-край, а модуляции µх выше края погло щения представляют спектр PPCПTC-EXAFS. (б) Фурье-преобразования спектра (а), по казывающее расстояние до ближайшего соседнего и до второго атомов
242 |
Глава 9 |
|
Рассмотрим систему с гамильтонианом Н, задаваемым выражением |
|
|
|
Н = Н0 +Н', |
(9.42) |
где Н0 |
- не зависящий от времени оператор с собственной функцией lflo· |
Опера |
тор Н0 |
может описывать, например, водородоподобный атом, а Н' - зависящее от |
|
времени возмущение, т. е. осциллирующее электрическое поле. Волновая функция
l/f0 удовлетворяет уравнению Шредингера |
|
. дl/Jo |
(9.43) |
iliдt = Hol/J 0 . |
|
Поскольку Н0 не зависит от времени, можно записать |
|
l/Jo = u(x,y,z)e-iEot/h |
(9.44) |
или |
|
l/Jo = La~u~e-iE~t/n, |
(9.45) |
п |
|
где |
|
|
(9.46) |
в котором и~ - ортонормированные собственные векторы, а а~ - |
константы, не |
зависящие от времени. |
|
Для гамильтониана с возмущением можно записать |
|
дф |
|
Hl/J = ili at = (Н0 + H')l/J |
(9.47) |
и |
|
l/J = Laп(t)u~e-EЙt/h, |
(9.48) |
п
где коэффициенты ап теперь зависят от времени.
Подставляя (9.48) в (9.47) и умножая на комплексно сопряженную функцию
и~•, с учетом ортонормированности получим
--da |
= а |
|
= - -i Lа |
(t)H' |
ei·сноs -Епо)t1"" |
|
5 |
|
|
li п |
|
|
(9.49) |
dt |
|
s |
sn |
, |
п
где
Н'sn = Ju s0 • H'uп0 dт•
интеграл берется по всему пространству. Аппроксимируем решение с учетом того, что при малом возмущении изменение an(t) является медленным; поэтому
Поглощение фотонов в твердых телах и расширенная... |
245 |
выражение отлично от нуля, р(w) является почти постоянной величиной, так что p(w) можно заменить его значением при w = wsn и вынести за знак интеграла без
потери точности. После подстановки z = 1h (w - wsn )t, выражение примет вид
или, с учетом замены, для которой
|
+оо |
_ |
|
|
sin2 z |
|
|
|
J z 2 |
dz - те, |
|
|
|
|
|
|
- 00 |
|
|
вероятность перехода будет равна |
|
|
|
Т |
= 1 (t')lz = тre2p(Шsn)lxsn12t' |
(9.63) |
|
sn |
asn |
fi2 |
' |
где Xsn = f и; ХИп dт. (9.63) выполняется для излучения, поляризованного вдоль
оси х. В общем случае, когда излучение падает на атом со всех направлений со
случайной поляризацией, ~п должно включать равные вклады хsп' Уsп и zsп' поэтому
(9.64)
где в знаменателе множитель 3 добавлен из-за того, что каждое направление по
ляризации дает 1/3 интенсивности; lxsJ + lYsJ + lzsJ = l<!J!slrll/1)1 = lr,J l<!J!slrl!J!п>I на
зывается дипольным матричным элементом, а (9.64) - дипольным приближением
вероятности перехода.
9.10.3. Спонтанные переходы
Спонтанными называются такие переходы, которые происходят в отсутствии внешнего поля. В качестве примера можно привести переход из возбужденного в основное состояние. Для расчета этих явлений мы будем основываться на методе, развитом Эйнштейном в 1917 г., позволяющем рассчитывать скорости спонтан
ных переходов по известным скоростям вынужденных переходов, вычисленным
в разделе 9.10.2.
Рассмотрим группу атомов в тепловом равновесии; каждый атом может из лучать и поглощать излучение с одинаковой скоростью. Обозначим за Pns вероят
ность перехода атома из состояния n в состояние s за малый промежуток времени dt. Данная вероятность Pns должна быть пропорциональна вероятности Рп на
хождения атома в n-ом начальном состоянии, умноженной на вероятность пере
хода из n-го состояния в s-oe (обозначим эту вероятность за TnJ
Pns = TnsPn·
Поглощение фотонов в твердых телах и расширенная... |
247 |
Закон Планка для теплового излучения дает |
|
/iшз |
|
р(ш) = n2c2(e1iw/kT _ 1). |
(9.68) |
Подставляя данное выражение в (9.67), получим выражение для Вsп' содержа щее только Ans и известные константы:
hш~5 |
(9.69) |
Вsп = zзАпs· |
1f с
Скорость спонтанного перехода из заселенного состояния в незаселенное со
стояние равна
- |
4 е2 |
[Шпs]3 |
l<ФslrlФп>I |
2 |
, |
(9.70) |
w - |
З!i |
7 |
|
где е2 = 1,44 эВ·нм. Данное выражение можно записать в виде
W = 0,38 · 1014 • (hш)3 • \(ф5\r1Фп)\2 ,
в котором nw измеряется в килоэлектронвольтах, а матричный элемент имеет раз
мерность (0,01 нм)2• Типичная величина Wравна 1015 с·1 для элементов середины
периодической таблицы. В итоге
_ |
2п |
, |
|
|
|
W - |
h\Hsn\ 2 р(Еп) |
|
для статического возмущения (уравнения 9.24 и 9.57). |
||
|
|
|
|
|
для зависящего от времени H'=E0cos wt (уравнение 9.64), |
- |
4 е2 |
[Шпs]3 |
lrsпl |
2 |
для спонтанных переходов (уравнение 9.70). |
W-3h |
7 |
|
|
||
Задачи
9.1. Для Cu К" излучения (Е = 8,04 кэВ), падающего наАl:
(а) Вычислить поперечное сечение фотоэффекта crph для К-оболочки Al и
сравнить получившееся значение с величиной поперечного сечения иони
зации cre для электронов с энергией 8,04 кэВ.
(б) Вычислить массовый коэффициент поглощения для Al с учетом поглоще ния только на К-оболочках н сравнить с величиной, приведенной в Прило жении 8. L-оболочкиAl содержат 8 электронов, а К-оболочки - 2 электрона.
(в) Оценить вклад электронов L-оболочки в массовый коэффициент поглоще ния для электронов с энергией 8,04 кэВ.
248 |
Глава 9 |
9.2.Пусть излучение с энергией 5,41 кэВ (фотоны Си Ка и электроны) падает на
кремний. Сравнить величины в микрометрах линейного коэффициента погло щения, пробега электронов и среднего свободного пробега электронов.
9.3.Предположим, что в качестве фильтра для ослабления Си КР излучения от
медного рентгеновского источника используется никель. Если толщина ни
келя позволяет ослабить КР-излучение в 1000 раз, во сколько раз будет ос лаблено Ка-излучение? Какова толщина фильтра? Привести грубую оценку ослабления Си La излучения.
9.4.Бериллий используется в качестве материала для «окна>>, позволяющего рент геновскому излучению проникать в детектор с минимальным ослаблением. Ослабление рентгеновского излучения от элементов с Z < 1О является одним
из ограничений для применения микроанализа. Оцените поглощение рентге
новского Ка-излучения в окне из бериллия толщиной 7 мкм.
9.5.Рассмотрим фотон с энергией nw, возбуждающий процесс фотоэффекта для электрона с энергией связи Ев в атоме с массой Mn. Предположим, что электрон
испускается вперед, т. е. вдоль направления падения фотона. В приближении nw >>Ев показать, что энергия атома отдачи определяется выражением
_ |
(liw ) 2 |
те _ |
liw / |
2тес2 liw, |
|
Er - |
ZM |
2 |
+ -М liw - |
-М2 v |
|
|
пС |
|
п |
пС |
|
где те - масса электрона. Провести рассчет для nw = 1 кэВ, 100 кэВ и Мп = 28 (кремний) и сравнить получивнееся значение с энергией связи 14 эВ для Si в решетке монокристалла Si. Подобные оценки важны для определения степени
воздействия используемой методики на анализируемый материал.
9.6.Используя закон сохранения импульса и энергии, показать, что фотоэффект не
может происходить на свободном электроне. Рассмотреть нерелятивистский
случай nw < тес2• При облучении фотонами твердого тела происходит фото эффект, потому что все электроны в той или иной степени связаны.
Литература
1. Е.Е. Anderson, Modern Physics and Quantum Mechanics (W. В. Saиnders, Philadelphia, 1971).
2.B.D. Cиllity, Elements ofX-ray Dif.fraction, 2nd ed. (Addison-Wesley, Reading, МА, 1978).
3.Р. А. Lee, Р. Н. Citrin, Р. Eisenberger, and Р. М. Kincaid, "Extended X-ray Absorption Fine Structure," Rev. Mod. Phys. 53, 769 (1981).
4.R. Saxon, Elementary Quantum Electrodynamics (Holden-Day, San Francisco, 1968).
5.L. I. Schiff, Quantum Mechanics, 3rd ed. (McGraw-Hill Book Со., New York, 1968).
6.R. L. Sproиll and W. А. Phillips, Modern Physics, 3rd ed. (John Wiley and Sons, New
York, 1980).
7. Р. А. Tipler, Modern Physics (Worth PиЫishers, New York, 1978).