тмиэт / тмиэт / Alford Terri M. _Fundamentalnye osnovy analiza nanoplenok (1)

~~~~~~~~~~~~-Д_и_ф_~_а_к_ц_и_~_R_е_н_т_г_ен_о_в_с_ких~л_у_ч_е_й~~~~~~~~~-1_9_1

1

1-

tЗадачи

i'

r7.1. Используя данные рис. 7.17, показать, что параметр решетки CsCl равен 0,412

1

нм.

. 7.2. Проводится рентгеновский дифракционный анализ образца, состоящего из

'чистого железа, с помощью Мо Ка излучения. Положения пиков на графике

приведены ниже. Доказать, что данный металл имеет ОЦК-ВСС решетку, ука­

зать тип и параметр решетки.

7.3. При помощи вычислений структурного фактора показать, что все разрешен­ ные отражения ГЦК-FСС структуры соответствуют значениям hkl одной четности (т.е. все три числа либо четны, либо нечетны вместе). Используя Приложение 5, вычислить ожидаемые положения пиков и численно оценить значения интенсивностей для случая образца из меди, облучаемого Cr Ка из­ лучением (для получения значений длин волн ),, см. Приложение 6).

7.4. Используя разрешенные отражения для ГЦК-FСС структуры (микроскопи­ ческий подход), вычислить разрешенные отражения для алмаза. (Подсказка: следует начать с решетки и базиса.)

7.5. Для структуры, изображенной на рис. 7.18:

(а) Определить данную структуру (тип решетки и базис), а также написать химическую формулу.

(б) Каковы элементы симметрии вдоль направлений [О], [001] и [111]?

(в) С помощью вычислений структурного фактора вывести формулы для от­

носительных интенсивностей разрешенных отражений.

А8

во

се

-у Рис. 7.18. К задаче 7.5

7.10.Проводится анализ слоя монокристалла Pd (001) на подложке из Si (001) с помощью полюсных фигур. Нормаль к поверхности слоя параллельна оси

Oz. Оценить число {200} полюсов и вычислить угол между каждым полю­

сом и нормалью. Вычислить также угол между полюсами. Как изменятся эти

значения, если будет исследоваться слой Si (001).

Литература

1. В. D. Cullity and S. R. Stocks, Elements ofX-ray Diffraction, 3rd ed. (Prentice-Hall, New Jersey, 2001).

2.W. Borchardt-Ott, Crystallography, 2nd ed. (Springer-Verlag, Berlin, 1995).

3.В. Е. Waпen, X-Ray Diffraction (Dover PuЫications, Mineola, New York, 1990).

4.D. D. L. Chung, Р. W. De Haven, Н. Amold, and D. Ghosh, X-Ray Diffraction at Elevated Temperatures (VCH PuЫishers, New York, 1993).

ГЛАВА8

Дифракция электронов

8.1. Введение

В данной главе рассматривается методика анализа пленок с помощью диф­

ракции электронов высоких энергий с использованием электронного микроскопа.

Наиболее распространенная форма этой методики реализуется с помощью про­

свечивающего электроююго микроскопа (ПЭМ-ТЕМ, от английского transmission

electron microscope). Как было показано в главе 7, дифракция раскрывает деталь­ ную информацию о кристаллическом строении тонких пленок. Существенное

преимущество электронной микроскопии заключается в использовании потоков

электронов, с помощью которых можно получать зондирующие пучки с диаме­

тром в нанометровом диапазоне. Это дает возможность исследовать кристаллич­

ность нанометр за нанометром для определения однородности кристалла, выявле­

ния протяженных дефектов и других структурных особенностей. Простой пример показывает важность этой высокой разрешающей способности ПЭМ. Как прави­

ло, осаждаемые металлические пленки имеют поликристаллическую структуру,

состоящую из кристаллитов нанометрового размера. Ясно, что прямое описание

структуры такого материала, исследование структуры составляющих его отдель­

ных кристаллитов и их связи между собой представляет большой интерес. Имен­

но это и является предметом исследования с помощью метода электронной про­ свечивающей микроскопии и связанным с ним изучением дифракции электронов. В данной главе представлены основные детали явления дифракции электронов и

его применения в просвечивающем электронном микроскопе.

Как правило, межатомные расстояния в кристаллических твердых телах име­

ют величины порядка постоянных решеток, т. е. 0,2-0,4 нм. Следовательно, не­

обходимо использовать излучение с длиной волны меньше 0,2 нм. Этот диапазон

длин волн соответствует электронам с высокой энергией. В предыдущих главах

отмечалось, что фотоны не имеют массы покоя. Связь между длиной волны и энергией фотона дается соотношением: Л (мкм)= 1,24 эВ мкм/эВ. Масса электро-

нов отлична от нуля, поэтому данное уравнение не дает правильного соотноше­ ния длины волны и энергии для электронов, перемещающихся с релятивистскими

скоростями (т. е. с высокой энергией). В таких случаях используют соотношение де Бройля (частица - волна) mv = h/Л и выражение для кинетической энергии электронов У2 mv2 = eV, чтобы получить соотношение между ускоряющим напря­

жением и длиной волны:

где V - приложенное (ускоряющее) напряжение (в вольтах), а длина волны изме­

ряется в нанометрах. Используя (8.1 ), получаем значение длины волны электрона

с энергией 100 кэВ:

Таким образом, электроны с энергией 100 кэВ, которые обычно используются

впросвечивающей электронной микроскопии, имеют длину волны, подходящую

для дифракционного анализа кристаллов. С учетом того, что значения этих длин волн на два порядка меньше длин волн рентгеновских лучей, будем использовать несколько иной подход к выводу закона Брэгга.

Вглаве 7 закон Брэгга был представлен как простой закон, используемый при

описании дифракции. В данной главе мы выведем закон Брэгга в векторном виде

впространстве обратных решеток. Вначале использование понятия обратного пространства будет выглядеть абстрактным. Тем не менее, обратное простран­

ство является мощным инструментом, позволяющим описывать многие явления в

физике твердого тела.

8.2. Обратное пространство

Узлы пространственной решетки Бравэ в реальном (R) пространстве мате­ матически описываются с помощью определенных векторов трансляции. Ана­ логичным образом в данном разделе развивается концепция обратных решеток (l/R) как математической конструкции, описываемой векторной алгеброй. На

первый взгляд, используемые в этом описании понятия и единицы измерения

могут показаться сложными; однако, 1/R-пространство является исключитель­

но полезным инструментом для описания поведения электронов в кристаллах.

В данном случае обратное пространство называется k-пространством, или про­

странством импульсов. В данной главе для описания когерентного рассеяния

частиц и фотонов в кристаллах будут использоваться соотношения, выведенные для 1/R-пространства. Комбинация понятия обратной кристаллической решетки

(1/R-пространства) и построения сферы Эвальда упростит описание дифракции

электронов в просвечивающем электронном микроскопе.

Семейство кристаллографических плоскостей в R-пространстве может быть представлено с помощью обычных векторов. Рассмотрим семейство плоскостей кристалла в R-пространстве (рис. 8.1). Проведенные из начала координат вектора,

перпендикулярные к этим плоскостям, определяют ориентацию и межплоскост­

ное расстояние. Например, для (001) и (010) плоскостей кубической решетки та­ кие нормальные вектора ориентированы вдоль направлений [001] и [010], соот­ ветственно. Расстояния d001 и d010 между плоскостями равны а0• Для сравнения, вектор нормали к плоскости (004) расположен вдоль [004] направления, а меж­

плоскостное расстояние равно 'l4a• Следовательно, межплоскостное расстояние

0

для определенной плоскости соответствует обратной длине вектора нормали.

В обратном пространстве обратный вектор решетки d* имеет длину, равную обратной величине соответствующего межплоскостного расстояния ~kI" Вектора обратной решетки имеют размерность 1/длина (нм·1 ):

hkl

Используя (8.2), мы можем вычислить длины векторов d004 и d;11 для крем­

ния. Учитывая, что параметр решетки кремния а0 равен 0,543 нм, а ~kI равен [h2 +

k2 + l2]112/a0, получим

1

ldoo41 =- d = (02 + 02 + 42 ) 112 (О,543 нм)-1 = 7,37 нм-1,

004

1

ld;11 1 =-d- = (2 2 +1 2 +1 2 ) 112 (О,543 нм)-1 = 4,51 нм-1.

211

Первая аксиома, вводимая для определения обратных решеток, гласит: ре­

шетка в 1/R-пространстве напрямую связана с решеткой в R-пространстве.

Например, вектор d* 1/R-пространства состоит из векторов элементарной ячейки

Рис. 8.1. Схематичное изображение связи между решеткой в R-пространстве и решеткой в 1/R-пространстве

8.2.1. Правило сложения

Вектора в обратном пространстве складываются так же, как и в реальном про­

странстве. Правило сложения состоит в том, что индексы результирующего век­

тора представляют собой сумму соответствующих индексов исходных векторов в обратном пространстве:

(8.5)

Используя (8.5), мы можем вывести некоторые соотношения для вектора d\k1

= [220]:

d220 = di10 + di10 = 2di10

=dioo + dozo = 2dioo + 2do10 = 2(dioo + do10)

=di10 + do10 + dioo

=d;зо - d(но - dioo·

Вслучае ортогональных осей (ромбическая, тетрагональная и кубическая ре­

шетка) можно получить простое соотношение для [d*ьki d*hkJ

(diikzdiiki) = (Cha* + kb* + lc*)(ha* + kb* + lc*))

Для кристаллов, у которых (а* Ь*) =О и (а* а*)= 1,

(8.7)

Угол у между векторами нормали к плоскостям (h1k1l1) и (h2k}2) или угол у

между векторами а и Ь задается выражением:

Аналогично, угол между двумя векторами в обратном пространстве, прове­ денными в точки h1k1l1 и h2k}2 соответственно выражается через соотношение

(8.9)

Объем (V) элементарной ячейки задается векторным соотношением (а (Ь с]). Произведение [Ь с] дает вектор, параллельный а*, и численно равен площади гра­ ни ячейки, ограниченной векторами Ь и с; поэтому