Схемота / DgCxT_konspekt_lektsiy_1-14

Неделя 1

1.1 Системы счисления

Системой счисления называют способ изображения произвольного числа ограниченным набором символов, называемых цифрами. Номер позиции, опре-

деляющий вес, с которым данная цифра складывается в числе, называют разря-

дом, а системы счисления, обладающие отмеченным свойством, — позицион-

ными.

В общем случае n-разрядное положительное число x в произвольной си-

стеме счисления с основанием b представляется суммой вида

где ak — отдельные цифры в записи числа, значения которых равны членам нату-

рального ряда в диапазоне от 0 до (b - 1).

Наиболее часто употребляемыми в настоящее время позиционными систе-

мами являются:

2 — двоичная;

8 — восьмеричная;

10 — десятичная;

16 — шестнадцатеричная;

При выполнении вычислений цифровыми электронными устройствами ис-

пользуются элементы с двумя устойчивыми состояниями. По этой причине в цифровой технике широкое распространение получила позиционная двоичная

система счисления (с основанием 2). В каждом двоичном разряде, получившем название бит, может стоять 1 или 0. Сама же запись числа (двоичный код) пред-

ставляет собой последовательность из единиц и нулей. Чтобы отличить двоичное число от десятичного, будем дополнять его справа суффиксом В (Binary), как

это принято в специальных машинно-ориентированных языках программирова-

ния, называемых ассемблерами.

Веса соседних разрядов двоичного кода числа отличаются в два раза, а са-

мый правый разряд (младший) имеет вес 1. Поэтому, например

101101В = 125 + 024 + 123 +122 + 021 + 120 = 45.

Четыре соседних бита называют тетрадой, группу из 8 бит называют бай-

том, а из 16 бит — машинным словом. Совокупность из 1024 байтов называют килобайтом, из 1024 килобайтов — мегабайтом, из 1024 мегабайтов — гигабай-

том.

1 Гб = 210 Мб = 220 Кб = 230 байт.

Арифметические операции в двоичной системе счисления исключительно просты и легко реализуются аппаратно. Однако при вводе и выводе информации в цифровое устройство она должна быть представлена в более привычной для человека десятичной системе счисления. Стремление упростить процедуру пере-

счета двоичных чисел к десятичному эквиваленту привело к использованию дво-

ично-десятичной системы счисления (BD — Binary Decimals). Она использу-

ется в ЭВМ не только в качестве вспомогательной системы счисления при вводе и выводе данных, но и в качестве основной при решении задач, когда в ЭВМ вво-

дится и выводится большое количество чисел, а вычислений над ними произво-

дится мало. Десятичные числа в двоично-десятичной системе счисления кодиру-

ются в прямом нормальновзвешенном коде 8-4-2-1, т. е. каждую цифру десятич-

ного числа необходимо заменить соответствующей тетрадой двоичных чисел.

Например, десятичное число 9531 в двоично-десятичном коде представляется ма-

шинным словом из четырех тетрад

9531 = 1001 0101 0011 0001.

Записывать двоичные числа большой разрядности утомительно. Поэтому,

как правило, они представляются более компактными записями с использова-

нием шестнадцатеричной системы счисления. В этой системе используют пер-

вые десять членов натурального ряда от 0 до 9, а в качестве остальных цифр — первые шесть латинских букв A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Справа шестнадцатеричное число будем дополнять суффиксом Н (Hexadecimal).

1.2 Основные положения алгебры логики, логические операции: инверсия, дизъюнкция, конъюнкция, исключающее ИЛИ

Математический аппарат, описывающий действия цифровых устройств, ба-

зируется на алгебре логики, автором которой считается английский математик Дж. Буль (1815-1864 гг.). В практических целях первым применил его американ-

ский ученый К. Шеннон в 1938 г. при исследовании электрических цепей с кон-

тактными выключателями.

Алгебра логики это предмет который оперирует логическими понятиями. В

алгебре логики есть высказывания и эти высказывания могут принимать одно из двух значений – высказывание может быть истинным или ложным. Для того чтобы логические формулы можно было записывать более компактно никто не пишет «истина» или «ложь» - под истиной понимается логическая единица под ложью понимается логический ноль. Алгебра логики изучает логические опера-

ции над этими операндами. Алгебра логики — это аппарат, который включает в себя операнды 0 1 и операции над ними. Базовых логических операций в алгебре логики всего три:

1) Логическое умножение или конъюнкция (И, AND):

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истин-

ным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истин-

ными, во всех остальных случаях данное сложное выражение ложно.

2) Логическое сложение или дизъюнкция (ИЛИ, OR):

Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда,

когда оба простых логических выражения ложны.

3) Логическое отрицание или инверсия (НЕ, NOT):

Инверсия — это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если ис-

ходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным.

Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логиче-

скому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Логические элементы сами по себе могут как быть частью более сложных схе-

мотехнических блоков, так и выполнять самостоятельные функции. Таблица, опи-

сывающая уровень на выходе такого ЛЭ для всех комбинаций сигналов на входах,

также называемая таблицей истинности, показана на:

Рисунок 1 - ЛЭ типа ИЛИ (а), И (б), НЕ (в)

Логическая операция исключающее ИЛИ (XOR)

XOR выполняется с 2-мя битами. Результат выполнения операции XOR (исключающее ИЛИ) равен 1, когда один из битов равен 1. В остальных ситуа-

циях результат применения оператора XOR равен 0.

Таблица истинности логической операции для XOR (исключающее ИЛИ)

выглядит так:

Обозначения логических операций

1.3 Правила и теоремы алгебры логики

Правил и теорем в алгебре логики в отличие от обычной алгебры ограни-

ченное количество, хотя бы потому что операндов всего 2, а логических опера-

ций всего 3.

Давайте подумаем каков будет результат если мы к числу прибавили 0.

Число не изменится поэтому X + 0 это X. Если к числу прибавить единицу будет гарантирована единица, то есть X + 1 это всегда 1.

Логическое умножение. Если умножить что-нибудь на ноль что мы полу-

чим 0. Если мы что-то умножаем единицу что мы получим это же.

+ = ∙ =

+ = 1 ∙ = 0

=

Теорема Де Моргана:

+ = ∙

∙ = +

Для доказательства запишем таблицу истинности для первого выражения:

Анализ результатов логических операций показывает истинность первого

выражения теоремы. Второе выражение теоремы можно доказать аналогично.

До этого момента мы обсуждали логические операции над двумя операндами, но на самом деле логические элементы с двумя входами это база, а количество вхо-

дов для логического элемента может быть достаточно большим. Вот, например,

логический элемент 4И:

&

Рисунок 6 – Логический элемент 4И

К логическому элементу может быть добавлена инверсия. Например, мы с вами берём логический элемент ИЛИ на три входа и подключаем ему на выход инвер-

тор. Если нужна такая операция, то инвертор просто переносятся в виде кружка и это будет обозначено:

1

Рисунок 7 – Логическое 2ИЛИ-НЕ

Комбинация логических элементов тоже может быть какой угодно. Например,

возьмём комбинацию трех логических элементов.

X3

&

X4

Рисунок 8 – Логическое 2ИЛИ-НЕ

Итоговая функция Y - это функция логического умножения суммы X1 X2 на про-

инвертированное умножение X3 на X4.