БСТ19ХХ / Задание №1 / Вариант №7 / Fizika_Ch_1_Fizicheskie_osnovy_mekhaniki_Elektrichestvo_Elektromagnetizm_4553276
.pdf
|
|
|
Е Е1 |
Е2 . |
Напряженность электрического поля, создаваемого в воздухе ( =1) первым зарядом,
E1 |
|
|
Q1 |
|
, |
(1) |
|
|
|
|
r 2 |
||||
|
4 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Вторым зарядом – |
|
E2 |
|
Q2 |
|
, |
|
(2) |
||
|
|
|
r 2 |
|
||||
4 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||
Вектор |
(рис.6) направлен по силовой линии от заряда Q1, так как заряд |
|||||||
E1 |
||||||||
Q1 положителен; вектор |
|
направлен также по силовой линии, но к заряду |
||||||
Е2 |
Q2, так как заряд Q2 отрицателен.
Абсолютное значение вектора Е найдем по теореме косинусов:
E |
E 2 E |
2 |
2 E |
E |
2 |
cos , |
|
|
|
(3) |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
где - угол между векторами |
и |
, который может быть найден из |
|||||||||||||
Е1 |
Е2 |
||||||||||||||
треугольника со сторонами r1 , r2 |
и d: |
|
|
||||||||||||
cos |
|
d2 |
r 2 |
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 r1 r2 |
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos вычислить отдельно:
cos 0,1 2 0,09 2 0,07 2 0,238. 2 0,09 0,07
Подставляя выражение Е1 |
из формулы (1) и Е2 из формулы (2) в равенство |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3) и вынося общий множитель |
|
|
|
|
1 |
|
за знак корня, получим |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
|
|
1 |
|
|
|
Q |
2 |
|
|
Q |
|
2 |
|
2 |
Q Q |
2 |
|
cos . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
r 2 |
|
|
||||||||||||||||||||
4 |
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проверим правильность наименования результата: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Н м2 |
|
Кл 2 |
|
|
|
|
|
|
Н м2 Кл Н |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
E |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
В |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Кл |
2 |
|
|
м |
4 |
|
|
|
|
|
Кл |
2 |
м |
2 |
|
|
|
Кл |
м |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим числовые значения величин в формулу (4) и произведем вычисления
31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
1 |
|
|
10 9 |
2 |
|
2 10 |
9 2 |
2 |
10 9 2 10 |
9 |
( 0,238) |
3,58 103 |
||
|
1 |
|
(0,09)4 |
0,07 4 |
(0,09)2 |
(0,07)2 |
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
9 |
109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В/м =3,58 кВ/м.
При вычислении Е знак заряда Q2 опущен, так как знак заряда определяет направление вектора напряженности, а направление Е2 было учтено при его графическом изображении.
В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал результирующего поля, созданного двумя зарядами Q1 и Q2, равен алгебраической сумме потенциалов, т. е.
1 2 . |
(5) |
Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой
|
Q |
|
4 0 r . |
(6) |
В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим:
|
Q1 |
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|||
4 |
0 |
r |
|
4 |
0 |
r |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
||
|
|
Q1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
4 |
|
|
r |
|
r |
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
Подставив в это выражение числовые значения физических величин, получим
|
|
|
1 |
|
|
|
10 9 |
2 10 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157 |
В. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0,09 |
0,07 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
9 |
|
|
|
|||||||
4 |
109 |
|
|
|
|
|
П р и м е р 3. Точечный заряд Q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно
заряженным с поверхностной плотностью = 0,2 нКл / см2 . Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра равно
10 см.
Дано: Q 2,5 10-8 Кл; 2 106 Кл / м2 ; R 10-2 м; r 101 м.
Найти: F.
Р е ш е н и е . Численное значение силы F, действующей на точечный заряд Q, находящийся в электрическом поле, определяется по формуле
32
F Q E , |
(1) |
где Е- напряженность поля. |
|
Как следует из теоремы Гаусса, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра
E |
|
, |
(2) |
2 0 r |
где - линейная плотность заряда.
Выразим линейную плотность заряда через поверхностную плотность . Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд Q двумя способами:
Q S 2 R l ; |
Q l . |
Приравняв правые части этих равенств, получим l 2 R l .
После сокращения на l найдем
2 R .
С учетом этого формула (2) примет вид
E |
|
R |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 r |
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив это выражение в (1), получим искомую силу |
|||||||||||
F |
Q R |
. |
|
|
|
(3) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
r |
|
|
|
|
|
|
||
Учтем, |
что |
|
0 |
8,85 1012 Ф/м, |
и |
подставим в (3) числовые значения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величин: |
|
|
|
|
|
|
|||||
F |
2,5 109 2 106 102 |
5,65 104 Н = 565 мкН. |
|||||||||
|
8,85 1012 101 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Направление |
|
силы F |
совпадает |
с |
направлением напряженности E , а |
последняя в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлена перпендикулярно поверхности цилиндра.
П р и м е р 4. Найти силу взаимодействия тонкого кольца радиусом R = 9см, несущего заряд q =2 нКл с точечным зарядом Q = 8 нКл, находящимся в точке А на оси кольца, проходящей через центр кольца, если концы его диаметра видны из этой точки под углом = 90°.
Дано: R = 0,09 м ; q 2 10-9 Кл; Q 8 10-9 Кл; = 90°
Найти: F .
33
Р е ш е н и е . Заряд на кольце в данном случае нельзя считать точечным, так как радиус кольца одного порядка
dl1 |
y |
|
|
величины |
с |
расстоянием |
от |
его |
|||||
|
|
|
|||||||||||
R |
r |
dF2y |
dF2 |
центра |
до |
заряда |
Q. |
|
Поэтому |
||||
применить |
|
|
непосредственно |
||||||||||
|
φ |
A |
dF2x |
формулу |
|
Кулона |
|
к |
указанным |
||||
O |
Q |
dF1x x |
зарядам |
нельзя. |
Результирующая |
||||||||
|
|||||||||||||
|
r |
dF1y |
dF1 |
сила взаимодействия может |
быть |
||||||||
|
получена |
|
в |
|
|
результате |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dl2 |
|
|
|
геометрического |
|
|
сложения |
||||||
|
Рис.7 |
|
|
элементарных сил |
взаимодействия |
||||||||
|
|
|
точечных |
зарядов |
dqi |
|
каждого |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
участка |
кольца dli |
с |
точечным |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зарядом Q (рис.7 ): F |
Fрез |
dFi . |
В силу симметрии задачи удобно рассмотреть два элементарных участка dl1 dl2 dl , расположенных на противоположных концах диаметра
с одинаковыми зарядами dq dl, где - линейная плотность заряда
кольца. Она равна = q/l, где l- длина окружности. Результирующая двух |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
элементарных сил dF1 dF2 |
dF |
в силу симметрии расположения участков |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dl1 и dl2 |
, равенства соответствующих проекций сил dF1x |
и dF2x на ось х и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
противоположного направления dF1y |
и dF2y , по модулю равна |
||||||
dF dF |
dF |
2 dF |
2 dF cos |
2 dF |
|
||
1x |
2x |
1x |
|
1 |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
и направлена по оси x. Переходя от суммирования к интегрированию, определим модуль результирующей силы
F dF 2 dFx ,
где интегрирование производится по всей длине кольца. Поскольку согласно
условию r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
R , а dq dl имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
dF |
|
|
dq Q |
|
cos |
|
τ dl Q |
cos |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
4 π ε0 r2 |
|
|
2 |
|
8 π ε0 R 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πR |
|
|
|
|
||
|
l/2 |
|
2 τ Q dl |
|
|
|
|
|
q Q |
|
|
|
|
|
2 q Q |
|
||||
F |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
dl |
|
|
|
|
8 π ε0 R 2 |
|
2 |
|
8 π2 ε0 R3 |
2 |
16 π ε0 R 2 |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
6,32 10 6 Н .
34
П р и м е р 5. Две проводящие сферические поверхности, центры которых
совпадают, имеют радиусы R1 = 20 мм и R2 =30 мм . На сферах равномерно распределены одинаковые по величине, но противоположные
R2
+q2 ‒q1 |
R1 |
по знаку заряды, равные 4,2 108 Кл, причем заряд сферы меньшего радиуса отрицателен. Все пространство между сферическими поверхностями заполнено однородным диэлектриком (ε =7).
S |
r |
Найти |
|
модуль |
вектора |
||
|
|
напряженности |
электрического |
||||
|
|
поля |
Е, |
модуль |
вектора |
||
|
Рис. 8 |
электрического |
смещения |
D и |
|||
|
потенциал |
электрического |
поля |
||||
|
|
||||||
|
|
как функцию расстояния r от |
|||||
|
|
центра |
|
|
сферических |
||
|
|
поверхностей. |
|
|
|
Построить графики Е = f(r); D = f(r) и = f(r) для случаев
1)r R1 ;
2)R1 r R 2 ;
3)r > R 2 .
Графики E = f(r) и D = f(r) расположить на одном чертеже, а = f(r)- на другом.
Дано: R1 0,02 м; R 2 0,03 м; q1 4.2 108 Кл; q2 4.2 108 Кл; = 7.
Найти: Е = f(r); D = f(r); = f(r).
Р е ш е н и е. Поскольку рассматриваемое электрическое поле обладает
сферической симметрией, воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D , взяв в качестве замкнутой поверхности сферу S радиусом r (рис. 8):
Dn dS q , |
(1) |
|
S |
|
|
|
|
|
где Dn - проекция вектора D на нормаль к поверхности S. Вычислим поток |
||
|
|
|
смещения D через сферическую поверхность S. Так как Dn D const, то |
||
|
|
|
Dn dS DdS D dS D S D 4 π r 2 . (2) |
||
s |
s |
s |
|
|
35 |
Из (1) и (2) следует
D 4 r2 q . |
(3) |
Поскольку алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри выбранной поверхности S, равна q1 q2 , из выражения (3) следует
D |
q1 |
q2 |
. |
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|||||
4 π r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Напряженность |
электрического |
поля |
|
E связана |
со смещением D |
|||||||||||
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 0 |
E . |
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|||||||
Следовательно, из формул (4) и (5) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
E |
|
|
|
q1 q2 |
. |
|
|
|
(6) |
|
|
|||||
4 |
0 |
r2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим значения D и E в каждой из заданных областей. |
||||||||||||||||
1) |
r R1 . |
Так как внутри сферы |
с радиусом r R1 |
заряды отсутствуют |
||||||||||||
( q1 |
q2 0 ), то |
смещение |
D1 и |
напряженность |
E1 |
электрического поля |
||||||||||
равны нулю. D1 0 ; E1 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
R1 r R 2 . Так как внутри сферы с радиусом R1 r R 2 содержится |
|||||||||||||||
заряд q1 , из формул (4) и (6) следует |
|
|
|
|
|
|||||||||||
D2 |
|
|
q1 |
|
|
; |
|
E2 |
q1 |
|
. |
|
|
|||
|
r2 |
|
4 |
|
r2 |
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) r > R 2 . Так как внутри сферы с радиусом r > R 2 |
содержится заряд q1 q2 , |
|||||||||||||||
но эти заряды равны по величине и противоположны по знаку, то q 0 . |
||||||||||||||||
Следовательно D3 0 и E3 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
Для построения требуемых графиков D = f(r) и E = f(r) следует вычислить несколько значений D и E, меняя значения r в заданных пределах. Результаты занесем в табл. 1.
Таблица 1
r 102 , м |
2 |
2,2 |
2,4 |
2,6 |
2,8 |
3,0 |
3,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
E 10-5 , В/м |
-1,35 |
-1,11 |
-0,94 |
-0,80 |
-0,69 |
-0,6 |
0 |
D 106 , Кл/м2 |
-8,36 |
-6,90 |
-5,80 |
-4,94 |
-4,26 |
-3,71 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
По данным таблицы, учитывая, что при r R1 D = 0 и E = 0, построим графики E f1 r и D f2 r (рис. 9).
E, В/м D, Кл/м
2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
0 |
|
-1 |
E=f1(r) |
-2 |
|
-3 -4 -5
-6 |
D=f2(r) |
-7 |
|
-8 |
|
-9 |
|
|
Рис. 9 |
Для нахождения потенциала электрического поля = f(r)
воспользуемся |
соотношением |
между |
||||||
напряженностью |
поля |
и |
градиентом |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
потенциала: |
|
E -grad . |
Для |
поля, |
||||
создаваемого |
|
|
|
сферической |
||||
поверхностью, |
это |
соотношение |
||||||
можно записать в скалярном виде: |
||||||||
E - |
d |
|
или |
d - E dr . |
|
|||
dr |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя это выражение, найдем |
||||||
разность потенциалов |
двух точек, отстоящих на расстояниях r1 |
и r2 |
от |
||||||||
центра сфер: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r2 |
1 |
|
r2 |
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
d Edr ; |
|
d |
Edr ; |
1 |
2 Edr . |
|
|
(7) |
|
|
1 |
r1 |
2 |
|
r1 |
|
r1 |
|
|
|
|
|
Потенциал в бесконечности |
принимаем |
равным нулю |
|
|
0 . |
Если |
в |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле (7) положить 2 |
0 , то она примет вид: |
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Edr . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r
Поскольку значения E для каждой из рассматриваемых областей различны, получим выражения (r) для каждого случая в отдельности:
1) r R1
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r Edr |
|
E1dr |
|
|
E2dr |
|
E3dr E2dr , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
R 2 |
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
так как первый и третий интегралы равны нулю ( E1 0 и E3 |
0 , см. первую |
|||||||||||||||||||||||||||||
часть решения задачи) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
r |
R 2 |
|
q |
|
|
|
|
dr |
q |
|
|
|
|
R 2 |
dr |
|
q |
|
|
|
|
1 |
|
R 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
|
r2 |
|
|
|
4 |
0 |
|
|
r2 |
|
4 |
0 |
|
|
|
r |
|
|
|||||||||
|
|
R1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
q1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 0 |
|
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
q1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Так как q1 0 (r) < 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
R1 |
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) R1 r R 2 |
|
|
|
Edr |
E2dr |
|
E3dr |
|
|
E2dr , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
так как второй интеграл равен нулю ( E3 0 , см. первую часть решения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задачи) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
R |
2 |
|
q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 |
|
|
|
|
1 |
|
R 2 |
|
|
q1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
r |
4 π ε0 ε r |
|
|
|
|
|
|
|
π ε0 |
ε |
|
|
|
|
r |
|
|
4 π ε0 ε r |
|
|
R 2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
r |
|
|
q1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Так как q1 |
0 |
(r) < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) r R 2 |
r E3dr 0 , |
так как |
|
E3 0 |
(см. первую |
часть решения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задачи). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для построения графика (r) следует вычислить несколько |
значений , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
меняя значения r в заданных пределах. Результаты занесем в табл. 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
r, м |
|
0 |
|
0,010 |
|
|
|
0,020 0,022 |
|
0,024 |
|
0,026 |
0,028 |
|
|
0,030 |
0,04 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(r), |
|
899 |
899 |
|
|
|
|
|
|
899 |
654 |
|
|
|
450 |
|
277 |
128 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|||||||||||||||||
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
По данным таблицы построим график = (r) |
(рис. 10). |
|
|
|
|
|
38
r,м
Рис. 10
П р и м е р 6. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью
V1 106 м/с, чтобы скорость его возросла в n = 2 раза.
Р е ш е н и е. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением заряда электрона е на разность потенциалов U
A e U . |
(1) |
Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона
A T T |
m V |
2 |
|
m V |
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
, |
(2) |
|||
|
|
|
|
|||||
2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где T1 |
и T2 |
- кинетические энергии электрона до и после прохождения |
ускоряющего поля; m- масса электрона; V1 и V2 - начальная и конечная его скорости.
Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим
e U |
m V 2 |
|
m V 2 |
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e U |
m n2 |
V |
2 |
|
|
m V |
2 |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
, |
|||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n V2 . V1
Отсюда искомая разность потенциалов
39
U |
m V12 |
n 2 1 . |
(3) |
|
2 e |
||||
|
|
|
Подставим числовые значения физических величин и выполним вычисления
U 9,1 10-31 106 2 22 1 В = 8,53 В. 2 1,6 1019
П р и м е р 7. Конденсатор емкостью С1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор
был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью C2 = 5мкФ. Какая энергия W′ израсходуется на образование искры
в момент присоединения второго конденсатора? Дано: С1 3 106 Ф; U1 40 В; С2 5 106 Ф. Найти: W′.
Р е ш е н и е. Энергия W′, израсходованная на образование икры,
W/ W W , |
(1) |
|
1 |
2 |
|
где W1 - энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора;
W2 - энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.
Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле
W |
C U2 |
, |
(2) |
|
2 |
||||
|
|
|
где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U – разность потенциалов на обкладках конденсаторов.
Выразив в формуле (1) энергии W1 и W2 по формуле (2) и принимая во
внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим:
W/ |
C U |
2 |
|
C C |
2 |
U |
2 |
|
|
|
|
1 1 |
|
1 |
2 |
|
, |
(3) |
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где С1 |
и С2 - емкости первого и второго конденсаторов; |
U1 - разность потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор;
U2 - разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.
Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежний, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:
40