Демин / экзамен / готовые решения / 23

Билет 23

1. Формула сложения вероятностей для произвольных n событий.

Теорема сложения вероятностей для n событий:

Если события A1, A2 … An несовместные, то формула сложения этих вероятностей:

(1 + 2+. . . + ) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

2. Найти вероятность того, что в группе из 10 студентов трое родилось в сентябре.

n = 10 студентов m = 3 ст.

A = {студент родился в сентябре}

p = P(A) = 1/12 (1 вариант из 12 месяцев)

Необходимо найти вероятность того, что событие А произойдет в n опытах ровно m раз.

Ответ: 0, 037

3. Наудачу из десяти цифр от 0 до 9 составляется семизначный номер телефона. Найти вероятность P(A| B) , если A {номер содержит только четные цифры}, B {номер не содержит цифр 1 и 2}.

Всего вариантов исхода – 107, так как на каждую позицию семизначного номера есть вариант из 10 цифр.

Так как номер телефона не может начинаться с нуля, и не содержит цифры 1 и 2 (событие B), то на первую позиции есть 7 вариантов, на остальные – 8. Поэтому:

P(B) = (7*86)/107 = 0,1835008

AB = {номер содержит только четные цифры, но при этом не содержит 1 и 2} На первую позицию есть 3 варианта (4, 6 или 8), на остальные – 4 (0, 4, 6, 8). P(AB) = (3*46)/107 = 0,0012288

P(A|B) = P(AB)/P(B) = ((3*46)/107) /((7*86)/107) = (3*46) / (7*86) = 0,00669

Ответ: 0,00669

4. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных за время эксплуатации выходит из строя с вероятностью 5*10-4. Найти вероятность того, что за время эксплуатации откажет хотя бы один элемент.

n = 1000; m = 1; p = 5 * 10-4

Ответ: 0,3935

5. Даны две независимые случайные величины X и Y , причем X распределена по показательному закону с параметром 1/3 , а Y распределена по нормальному закону

с параметрами m 2, 2 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z X Y.

6. Сформулировать закон больших чисел в форме Чебышева для последовательности случайных величин, имеющих различные распределения.

Пусть имеется случайная величина X(ξ) с математическим ожиданием mx и дисперсией Dx, над которой производится n независимых опытов. В результате получается n независимых случайных величин: X1, X2… Xn – значения случайной величины X. Пусть дисперсии Dxi ≤ c = const ограничены одной и той же константой, тогда для любых ε > 0:

При достаточно большом числе опытов среднее арифметическое наблюдение значений 1 ∑=1 сходится по вероятности к ее математическому ожиданию (в общем случае к среднему арифмет. их матем. ожидан.)

7. Пусть ξ1, ξ2… ξn – независимые случайные величины с распределением N(0,1). Какое распределение имеет случайная величина = ∑ .

Закон распределения сходится равномерно по всем ξ к нормальному закону распределения: (при n→∞)

8. Чему равны математическое ожидание и дисперсия выборочного среднего для выборки объема n, полученной из показательного распределения с параметром λ = 1/2?

Показательное распределение с параметром λ = 1/2 – это распределением хиквадрат с двумя степенями свободы. Поэтому:

Число степеней свободы: 2 Математическое ожидание: m = 2

Дисперсия: D = 2*2 = 4

9. Наблюдавшиеся значения генеральной совокупности X оказались равными 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 10, 3, 2, 1, 1, 2, 3. Построить статистический ряд этой выборки и найти выборочную медиану.

Вариационный ряд: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 10

n = 20, R = 10 – 1 = 9,

Статистический ряд:

Выборочная медиана: = (2 + 2)/2 = 2.

10. По выборке объема n =100, полученной из нормального распределения с известной дисперсией σ2 = 1, на уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу H0 :m = 5 при альтернативе H1 :m ≠ 5, если выборочное среднее = 4.7. Квантиль U0.975 =1.96 .