Демин / экзамен / готовые решения / 18
.pdf
18вариант
1.Укажите комбинаторные формулы, используемые при поиске вероятности в схеме выбора без возвращения.
Выбор без возвращения, с учётом порядка (число размещений из n элементов по k элементов):
!= ( − )!
Выбор без возвращения, без учёта порядка (число сочетаний из n элементов по k элементов):
!
= ! ( − )!
2. Статистика, собранная среди студентов одного из вузов, обнаружила следующие факты: 50% студентов учатся на 4 и 5, 20% занимаются спортом и только 5% студентов учатся на 4 и 5 и занимаются спортом. Найти вероятность того, что студент занимается только одним видом деятельности.
Дано:
Оценки – 0.5
Спорт – 0.2
Оценки И Спорт – 0.05
Только оценки = 0.5 – 0.05 = 0.45
Только спорт = 0.2 – 0.05 = 0.15
Что-то одно = 0.45 + 0.15 = 0.6 <- Ответ
3. По каналу связи передают два вида сигналов: нуль и единица. В силу наличия помех нуль может быть искажен в единицу с вероятностью 0.1, а единица в нуль – с вероятностью 0.2. Найти вероятность того, что при передаче сообщения 101 будет ровно одна ошибка.
*Считаем по принципу «один сигнал искажён, остальные 2 нет» трижды и складываем эти 3 вероятности (или искажется первый, а остальные целы, или второй, а остальные целы, или третий, а остальные целы)*
P = 0.2 * 0.9 * 0.8 + 0.8 * 0.1 * 0.8 + 0.8 * 0.9 * 0.2 = 0.144 + 0.064 + 0.144 = 0,352
4. Случайная величина X распределена по непрерывному закону с плотностью распределения pX (x) 2x, 0 x 1 . Найти квантиль уровня p 1/ 4 этой случайной величины.
Находим функцию распределения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
2 |
| |
= |
2 |
2 |
= |
2 |
|
2 = |
0 |
|
− 0 |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Находим квантиль уровня:
2 = 14
= 12 (только положительное, т.к. 0 ≤ ≤ 1)
5.Напишите формулу вычисления дисперсии случайной величины X , если известна совместная плотность распределения p (x, y) XY случайного вектора (X ,Y ).
+∞ +∞
( ) = ∫ ∫ 2 ( , ) − ( ( ))2
−∞ −∞
Где ( ) = ∫−+∞∞ ∫−+∞∞ ( , )
6. Случайная величина X распределена равномерно на интервале [–2; 2]. Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность события A | X | 1 .
|
|
|
( ) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ) = |
1 |
|
|
|
|
1 |
(4 − 4) = 0 |
|
|
|||||||||||
∫ |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
8 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
4 |
|
( ) = |
∫ 2 |
= |
(8 − (−8)) = |
= |
||||||||||||||||
4 |
12 |
12 |
3 |
|||||||||||||||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(| | > 1) ≤ |
( ) |
= |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
||||||
7. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным 3?
Число степеней свободы n = 3
Мат. Ожидание M = n = 3
Дисперсия D = 2n = 6
8. Дана выборка наблюдений некоторой случайной величины X : 0, 1, 5, 1, 6, 4, 2, 1, 2, 6, 2, 4, 2, 5, 6, 2, 1, 2, 4, 5. Построить статистический ряд, полигон относительных частот и найти выборочные характеристики: моду и медиану.
Статистический ряд (слева), полигон относительных частот (справа, проще построить самому по таблице, используя столбцы x и w):
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
||
1 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||
3 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
||
5 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
||
6 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
||
|
20 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мода (самое частое значение) 0 = 2
Медиана (усреднённое значение) ищется так:
выписываем отсортированный ряд, его середина – это и есть медиана (в нашем случае середина из двух элементов, поэтому нужно их среднее арифметическое, хотя они у нас одинаковы) –
0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 4 5 5 5 6 6 6
Итак, медиана = 2
9. Сформулируйте метод максимального правдоподобия получения точечной оценки n ~ параметра по выборке объема n , полученной из непрерывного распределения с плотностью вероятностей p (x, ) X .
Пусть x1,…,xn – выборка наблюдений случайной величины X, имеющей распределение FX(x,
θ) |
с |
вектором |
неизвестных |
параметров |
. Функцией |
правдоподобия выборки x1,…, xn из генеральной совокупности X называется |
совместная |
||||
функция плотности распределения случайного вектора 
при условии, что его реализация 
:
.
Учитывая, что компоненты X1,…, Xn случайной выборки, реализациями которых являются выборочные значения x 1,…,xn, независимы, многомерная функция плотности есть произведение одномерных функций плотностей:
В (2) учтено, что все компоненты X1,…, Xn имеют одинаковое распределение, совпадающее с распределением генеральной совокупности X.
Функция правдоподобия выборки x1,…, xn является функцией только вектора неизвестных параметров θ.
Аналогично определяется функция правдоподобия для случая дискретной генеральной совокупности с распределением вероятностей P(x, θ), 
:
.
Метод максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки вектора
неизвестных параметров 
принимается вектор 
, доставляющий максимум функции правдоподобия, т.е.
.
Иными словами, метод максимального правдоподобия состоит в отыскании такого вектора параметров 
, при котором данная реализация x1,…, xn случайной выборки X1,…,Xn была бы наиболее вероятной.
10. По выборке объема n 64 , полученной из нормального распределения с неизвестной дисперсией, на уровне значимости 0.05 проверить гипотезу H0 :m 10 при альтернативе H1 :m 10 , если выборочное среднее x 10.2 . Квантиль распределения Стьюдента t 24;0.975
2.064 .
Нужно найти критерий T и сравнить его с критической областью t = 2.064.
*комментарий для сверяющихся: судя по всему, здесь одно значение или случайное или неизвестно, или я чего-то не понимаю, поэтому оставляю в общем виде с s – выборочная дисперсия. Наиболее близкие примеры здесь: http://www.mathprofi.ru/statisticheskie_gipotezy.html
|
10.2 − 10 |
|
|
|
1.6 |
|
T = |
√64 = |
|||||
|
|
|||||
|
|
|||||
Нулевая гипотеза принимается, если -2.064 < T < 2.064