Демин / экзамен / готовые решения / 11 (без 5, 9)

Билет 11 1. Запишите теоремы сложения и умножения вероятностей для двух событий.

Теорема сложения вероятности. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: P(A*B)=P(A)*P(B|A)

Для независимых событий P(A*B)=P(A)*P(B)

2. Даны вероятности p безотказной работы в течение гарантийного срока отдельных элементов цепи, представленной на рисунке ниже. Отказы отдельных элементов цепи независимы. Определить вероятность работы цепи в течение этого срока.

Решение:

P= P[1-5]*P[6-7]

P[1-5]= 1-(1-P[1-2])(1-P[3-4])(1-P[5])

P[1-2]= P[1]*P[2]

P[3-4]= P[3]*P[4]

P[6-7]= 1-(1-P[6])(1-P[7])

P=(1-(1-P[1]*P[2])(1-P[3]*P[4])(1-P[5]))*(1-(1-P[6])(1-P[7]))

3. 12 деталей, среди которых 3 шестеренки, 5 конденсаторов и 4 шарика распределяются случайным образом в три ящика так, чтобы в каждый ящик попало бы одинаковое число деталей. Какова вероятность того, что в каждом ящике находится по одной шестеренке?

Решение:

Найдем все возможные комбинации: 1 коробка =С(4\12)=12!/4!8!=495 2 коробка =С(4\8)=70 3 коробка =С(4\4)=1

Все коробки= 495*70*1=34650 Найдем вероятность того, что в каждом ящике по 1 шестеренке 1*С(3\9)*С(3\6)*С(3\3)=1680

P=1680/34650=8/165=0,048

4. Напишите формулу Пуассона и укажите смысл входящих в нее параметров. Лучше заменить m на k

m-кол-во произошедших событий

λ-среднее кол-во успехов при проведенных испытаниях также n->(бесконечность);p->0

5. Случайные величины X и Y независимы и распределены: X по закону R( 1,5) , Y – по закону с плотностью p y y Y ( ) 2 2 , y [0, 1] . Вычислить M (XY 2X 3Y).

6. Случайная величина X получена в результате суммирования 300 независимых случайных величин, распределенных по одному и тому же равномерному закону на отрезке [0, 0.4]. Найдите дисперсию случайной величины X .

Решение:

Дисперсия непрерывной равномерно распределённой случайной величины в интервале (a,b) вычисляется по следующей формуле : D=((b-a)^2)/12=(0.4^2)/12= 1/75

Умножим на кол-во случайных величин 1/75*300=4

Дисперсия случайной величины X= 4

Краткий ответ:

Оценка более эффективна, чем оценка ,если её дисперсия меньше

Полный ответ:

Для оценки параметра θ может быть предложено несколько несмещённых оценок. Вследствие несмещённости различные реализации этих оценок будут группироваться относительно их математического ожидания, равного θ, однако разброс этих значений может быть различным. Как известно, мерой разброса значений случайной величины относительно математического ожидания является её дисперсия.

Пусть и – две несмещённые оценки параметра q по выборке объёма n. Оценка называется более эффективной, чем оценка , если её дисперсия меньше, т.е.

.

10. Напишите формулу вычисления статистики критерия X^2 Пирсона.