Рисунок 9 – Модель Лотки-Вольтерры при = 0,34; = 0,08; = 1; =
0,48;
11
Выводы
Система Лотки-Вольтерры является первоначальной и простейшей системой (усложненные системы будут рассмотрены ниже) для описания модели «хищник-жертва», то есть популяции хищников и популяции жертв,
взаимодействующих в какой-то среде: жертвы едят растительность, хищники
— жертв.
{ ̇= ( − )̇= (− + )
Из системы сразу следует, что если жертв нет (x = 0), то хищники будут вымирать экспоненциально с неким начальным коэффициентом (γ согласно уравнению). Что и было проиллюстрировано на рисунке 5.
̇= − → = 1 −, 1
Схожую ситуацию получаем при полном отсутствии хищников (y = 0):
̇= → = 2 , 2
Рост жертв получается экспоненциальным с некой заранее заданной константой (α), как на рисунке 6.
В ходе работы также наблюдалось такое значение размеров популяции животных, когда обе популяции остаются почти неизменными и сбалансированными, рисунок 4 (иногда в литературе можно встретить описание такого состояния, как «особой» точки). Если же начальное условие не попадает в особую точку, фазовые кривые будут идти вокруг нее, образуя бесконечное циклическое колебание. То есть количество особей одного вида будет расти, другого – падать, затем наоборот, как на рисунке 3.
12