лекции / Лекция 8 ЦОС

Сегодня мы поговорим о дискретном линейном фильтре. В дальнейшем будем пред-

полагать, что дискретный сигнал получен в результате дискретизации непрерывно-

го сигнала

с конечной энергией

|

|

в соответствии с теоремой Ко-

тельникова. Последнее

означает, что мы

всегда

можем восстановить∞

исходный непрерыв-

ный сигнал

, зная его отсчеты. Дадим определение линейной дискретной системы.

вие:

Дискретная система ∙ называется линейной, если выполняется следующее усло-

2.20

–

(, ).∙

где ,

некоторые дискретные сигналы, а

- оператор дискретной системы,

и

–

некоторые вещественные константы

1

1,

0

2.21

! 0,

# 0

Будем обозначать импульсную характеристику, как $ .

Если известна импульсная характеристика

, то отклик линейной дискретной си-

стемы на любой входной дискретный сигнал

определяется с помощью свертки

,

а имен

-

$

но:

(

( $ ) * *

% $

) * $ *

2.22

+,

+,

$

( ) * $ *

2.23

+,6

8, где

8

В формуле

(2.23) предполагается, что временной

индекс

. Часто линейные дискретные физически реализуемые

системы называются

.0; 1; 2; … 2

-

-

. Формула (2.23) следует из формулы (2.22), если учесть условия физической

фильтрами

реализуемости.

Определение: Переходной характеристикой линейной дискретной системы назы-

вается ее отклик на дискретный единичный скачок.

1,

0,1,2, …

Здесь

!

2.24

0,

0

=д ?

∆ ( $

ABCD ∙∆ , E, ? 0; ?д

2.26

Учитывая формулу

,

(2.22)

переходная характеристика математически описывается

выражением:

( ) * $ *

( $

: $

) * *

2.25

+,

+,

Замечание: выражение (2.25) описывается двухсторонней сверткой, поэтому она

справедлива для любых

линейных

систем, в том числе,

и физически нереализуемых

(например, если

, где

– преобразование Гильберта, у которого импульсная

характеристика существует и в области отрицательных времен

).

∙ Г ∙

Г ∙

Комплексным коэффициентом передачи линейной

дискретной системы

д

называется функция:

2.27

д ? G= д ? G, ? H0; ?дI

Фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) линейной дискретной системы называет-

ся функция:

OP Q=д ? R

2.28

Фд ? LM $ N SA Q=д ? RT

Комплексный коэффициент передачи линейной дискретной системы (2.26) обладает

свойствами периодичности и симметрии:

* E

2.29

=д ? = дV? ?д ∙ *I,

Свойство (2.29) называется свойством периодичности.

дV?д ) ?I

2.30

=д ? = дV?д ) ?I, ? H0; ?дX → 2.27 →

д

?

, здесь =д - комплексно-сопряженная величина.