лекции / Лекция 7 ЦОС

Лекция №7 по ЦОС

Спектральная интерпретация теоремы Котельникова

Формулы (2.9) и (2.10) – это формулы для дискретного непрерывного преобразования Фурье. Они справедливы при любом значении ∆, однако, на практике интервал дискретизации ∆ следует выбирать по теореме Котельникова, так как иначе мы не сможем восстановить исходный непрерывный сигнал с помощью ряда Котельникова (2.4). Рассмотрим различные случаи выбора интервала дискретизации ∆ для разных видов локализации спектра:

1) Частотно-ограниченный сигнал (с финитным спектром);

Спектр сигнала в этом случае ограничен максимальной частотой макс .

|% |

нимальной частоте дискретизации Котельникова дискрмин 2 , при которой еще можно восстановить сигнал.

Дискретизируем сигнал с этим интервалом дискретизации ∆:

|Д |

1

Тогда, если мы пропустим наш дискретный сигнал через ИФНЧ (идеальный ФНЧ),

тогда на выходе фильтра мы сможем точно восстановить спектр непрерывного сигнала

.

|Д |

Дискретизируем сигнал с этим интервалом дискретизации ∆:

|Д |

В этом случае, пропустив дискретный сигнал через ИФНЧ, мы можем точно восстановить дискретный сигнал.

|Д |

2

Дискретизируем сигнал с этим интервалом дискретизации ∆:

|Д |

∑

дискр 2 дмин

В этом случае, пропустив дискретный сигнал через ИФНЧ, мы не сможем точно восстановить дискретный сигнал, поскольку при суммировании ∑ по формуле (2.16) информация о спектре непрерывного сигнала теряется.

|Д |

∑

дискр 2 дмин

Спектральная интерпретация теоремы Котельникова заключается в следующем:

Если интервал дискретизации ∆ удовлетворяет условиям а) или б), то, пропуская дискретный сигнал через ИФНЧ, мы можем точно восстановить спектр непрерывного сигнала. В противном случае (случай в)), точное восстановление спектра непрерывного сигнала, а, значит, и самого непрерывного сигнала, невозможно.

Структурная схема восстановления непрерывного сигнала имеет следующий вид:

3

Здесь блок ИФНЧ – это непрерывный идеальный фильтр низкой частоты с идеальной частотной характеристикой (2.17).

2) Частотно-неограниченный сигнал.

Пусть сигнал является частотно-неограниченным, тогда в случае а) интервал дис-

кретизации ∆ , соответственно, дмин 2 . Сам непрерывный спектр сигнала будет иметь бесконечный протяженный хвост (не является финитным):

|% |

Дискретизируем этот сигнал с интервалом дискретизации ∆:

|Д |

В этом случае, пропустив дискретный сигнал через ИФНЧ, точного восстановления сигнала из спектра мы уже не получим, а, значит, не сможем точно восстановить исходный непрерывный сигнал, однако погрешность восстановления сигнала в этом случае будет незначительная, если в пределах полосы от 0 до э локализовано ( 95% энергии сигнала.

|Д |

Случаи б) и в) рассматриваются аналогично.

4