Лекция №6 по ЦОС
Основные понятия дискретной обработки сигнала
На предыдущих лекциях были даны понятия дискретного сигнала, определена теорему Котельникова, изучено, как стоит выбрать частоту дискретизации, построена структурную схему АЦМ, показано, какие в ней выполняются преобразования и теперь по аналогичной схеме будут рассматриваться дискретные цифровые схемы. Мы введем понятие энергии, понятие спектра и отсюда будут вытекать все те же понятия, что и для непрерыв-
ного сигнала, после чего станет возможность убедиться, насколько все похоже. |
|
|||||||
|
|
|
: |
∙ ∆ , |
0, 1, 2 |
|
|
|
|
Пусть сигнал |
|
получен в результате дискретизации непрерывного сигнала |
|||||
|
, т. е. |
|
|
|
с использованием теоремы Котельникова, то- |
|||
гда его энергией будет |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
| | |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данная формула является аналогом (1.1). В дальнейшем везде будем рассматривать сигналы с конечной∞ энергией, то есть, сигналы, для которых выполняется такое неравенство: , а учитывая (2.8), это означает, что дискретный сигнал является квадратич- но-суммируемой последовательностью.
Определение (дискретно-временного преобразования Фурье):
Для любого дискретного сигнала с конечной энергией существует прямое и обратное дискретно-непрерывное преобразование Фурье:
1) Прямое дискретно-непрерывное преобразование Фурье:
Д " ∆ ∙ # $ %& ∆ , " 0, "дискр 2.9
2)Обратное дискретно-непрерывное преобразование Фурье позволяет нам восстановить сигнал и описывается так:
|
|
.&дискр Д " ∙ # $ %& ∆/" , 0, 1, 2 |
|
2.10 |
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
В формулах (2.9) и (2.10) предполагается (для точного восстановления), что сигнал |
|||||||||
является либо частотно-ограниченным с максимальной частотой спектра |
макс |
|
, |
или |
|||||
частотно-неограниченной с эффективной шириной полосы |
|
, кроме того, |
по теореме Ко |
- |
|||||
3э |
" |
3 |
|
|
|||||
тельникова: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2"макс 23 для частотно < ограниченного сигнала |
|
|
|
|
||||
"дискр 5∆23э |
для частотно < неограниченного сигнала |
|
|
|
|
||||
1
Возможны такие ситуации спектров для непрерывных сигналов, где (1) – для сигнала с финитным спектром, а (2) – для частотно-неограниченного сигнала:
(1)
(2)
э
Авот случаи для дискретных сигналов:
Д(1)
дискр
Д |
(2) |
|
эдискр
Полученный график будет результатом суммирования сигналов с финитным (график 1) и частотно-неограниченным (график 2) спектрами по формуле (2.16)
2
Если в формулах (2.9) и (2.10) предположить, что |
" <∞; ∞ |
, то спектр (2.9) бу- |
||
дет периодической функцией с периодом "дискр: |
|
|
||
д " д@" "д ∙ AB, |
A C |
|
||
Д |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
дискр
Д |
(2) |
|
|
э |
дискр |
|
|
кроме того, комплексная функция симметрична относительно точки F=Fн: |
2.11 |
|||
Д " |
Д@"дискр < "B |
|||
Из свойств" периодичности и симметрии (2.11) следует, что информативная0, 3 часть спектра Д вещественного сигнала располагается в рабочем интервале н , где
3н &дискр – частота Найквиста. (В случае комплексного сигнала, его дискретный спектр
может0, " не удовлетворять свойству (2.11), т.е. для него рабочей областью будет интервал
дискр ,
Примечание: Для точного восстановления сигнала по формуле (2.10) достаточно |
||
использовать интервал от " D0, "дискрE 0, 23н . |
|
|
Вывод: Прямое и обратное ДНПФ являются аналогами прямого и обратного преоб- |
||
разования Фурье для непрерывных сигналов поэтому |
называется комплексным |
|
спектром дискретного сигнала. Амплитудный, |
и фазовыйД "спектры дискретного сигнала |
|
определяются по аналогии с непрерывными сигналами по таким формулам: |
2.12 |
||
ДF " |
G Д " G, " D0, "дискрE |
||
ΦД " |
NO P |
Д " Q |
2.13 |
IJK L MR# P |
Д " QS |
||
3
В зависимости от частотной локализации спектра сигнала, мы будем различать низкочастотные сигналы НЧ, высокочастотные ВЧ и полосовые сигналы ПЧ:
ДНЧ
Ндискр
ДВЧ
Ндискр
ДПЧ
Ндискр
Определение (двухстороннего Z-преобразования):
Пусть задан дискретный сигнал , 0, 1, 2 с конечной энергией, тогда его двухсторонним -преобразованием называется:
|
|
|
U V |
W |
|
|
∙ V |
|
2.14 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V #$Y∆ #$ %&∆ |
|
Д" |
|
|
||||
- |
|
|
U V W |
|
|
|
|
: |
сигнала |
|||
Из формулы (2.14) |
следует, что дискретно-непрерывный спектр |
|||||||||||
связан с преобразованием |
|
|
этого сигнала выражением |
|
||||||||
|
" |
|
|
Д" ∆ ∙ U@#$ %&∆B |
|
|
2.15 |
|||||
|
|
|
|
|
Д |
|
(2.9) и спектром соответствующего не- |
|||||
Между спектром дискретного сигнала |
|
|||||||||||
прерывного сигнала |
|
существует связь, |
определяемая следующим соотношением |
|
||||||||
|
P " |
|
|
|
: |
|
||||||
|
Д" |
|
|
|
|
|
|
" < A |
|
2.16 |
||
|
|
" < A ∙ "дискр |
|
|||||||||
|
|
|
\ |
|
|
|
|
\ |
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |