Лекция №5 по ЦОС
Модель дискретизации описывается следующим выражением:
|
|
|
∙ ∆ , 0, 1, 2 |
2.1 |
|
|
|
|
|
→ 1 |
|
|
∞, |
|
0 |
|
|
|
0, |
|
0 |
|
|
#
2∆ ∆ 0 ∆ 2∆
Обоснование модели дискретизации (2.1) основывается на фильтрующем свойстве -функции:
!" |
|
2.2 |
" |
|
|
|
|
|
Очевидно, из свойства (2.2) непосредственно следует справедливость модели дискретизации (2.1)
∙ ∆
1
На практике дельта-функцию не реализуется, но ее можно приближенно предста-
вить:
|
lim'(" |
) |
+ |
||
(" |
1 |
"→ |
+ |
, , |
|
*+ |
, |
2 |
2 |
||
|
0, |
|
вне |
||
+∞
2 0 2
Поскольку -функцию на практике реализовать невозможно, процедура дискретизации реализуют с помощью функции (" , где + – очень маленькая величина, меньше чем интервал дискретизации (+ 0 ∆). В результате практическая модель дискретизации принимает такой вид:
1 |
(" ∙ ∆ |
2.3 |
|
|
|
То есть, уравнение (2.3) фактически означает, что исходный непрерывный сигналстробируется узким прямоугольным импульсом (" . В случае, если + → 0, то значение 1 → совпадает с мгновенным значением сигнала в точке , а практическая модель дискретизации в пределе совпадает с теоретической моделью.
Процедура дискретизации (2.3) на практике реализуется внутри блока аналогоцифрового преобразователя (АЦП).
Структурная схема АЦП:
(" ∙ ∆
|
|
|
|
|
|
10101 4 |
|
|
|
||||
|
Дискретизатор |
Квантование по |
Цифровое коди- |
21 |
||
|
|
|
уровню |
|
рование |
ц |
|
|
|
|
|
|
Всовременных АЦП число уровней квантования очень большое, поэтому шумы
квантования можно практически не учитывать. Цифровой кодер переводит значение отсчета 11 в двоичное число с плавающей точкой.
Врезультате на выходе получается некоторый бинарный пакет символов, который в двоичной системе счисления определяет величину отсчета.
2
Теорема дискретизации Котельникова
Выбор интервала дискретизации ∆ в формулах (2.1) и (2.3) не является произвольным. В противном случае (если взять случайное значение), мы не сможем точно восстановить непрерывный сигнал по его отсчетам. Теорема Котельникова определяет минималь-
ную частоту дискретизации 5д 7∆, которая обеспечивает точное восстановление, при этом
на сигнал накладываются дополнительные ограничения. Сигнал должен быть частотно-ограниченным, т. е., его амплитудный спектр отличен от нуля на интервале0; 9 и равен нулю вне этого интервала:
|TU 5|
09
Такие сигналы называются сигналами с финитным спектром.
Классическая формулировка теоремы (состоит из двух утверждений):
1) Любой непрерывный сигнал с частотно-ограниченным спектром может быть
точно восстановлен из бесконечной дискретной последовательности своих отсчетов |
||||||||||
∙ ∆ , 0, 1, 2 …, взятых в интервалы времени |
∆ ∙ с интервалом |
|||||||||
дискретизации ∆ 4∙;7 , где 9 5макс - максимальная частота спектра сигнала, причем, в |
||||||||||
этом случае 5д ∆7 является минимальной частотой, при которой это точное восстановле- |
||||||||||
ние возможно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ ∆ |
|
|
|
|
|
|
|
@ ∙ AB CD ∙ |
E |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 ∙∆ |
F |
|
|
∆ |
|
|
7 |
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D ∙ |
∆ |
2D9 ∙ ∆ |
Hмакс |
∙ ∆ |
, т. к. ∆ 9 5макс |
|||||
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
G |
|
2) При этом, алгоритм восстановления описывается рядом Котельникова-Шеннона: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
2.4 |
|||
|
|
@ ∙ sinc'Hмакс ∙ ∆ |
||||||||
, где AB N OPQR R |
F |
AB N |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
D |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
2D |
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание: принципиальным при восстановлении сигнала из формулы (2.4) является
использование бесконечного числа отсчетов!
Если мы ограничим число отсчетов, то сигнал по формуле (2.4) будет уже неточным, в результате мы получим некоторый сигнал s t , отличный от сигнала s t и ошибка при этом будет равна:
+ W| |W |
2.5 |
Однако, на практике приходится обрабатывать конечное число отсчетов, поскольку мы имеем возможность наблюдать сигнал только ограниченное время.
0 |
Y |
[0, Y\ , то в этом случае |
Если сигнал имеет длительность Y, как на рисунке выше |
||
количество полученных отсчетов N будет равно: |
|
|
Y |
|
2.6 |
] ∆ 2 9Y |
||
и называется размером выборки сигнала. Очевидно, чем больше Y, тем больше ], а, зна- |
||
чит, большее количество ячеек памяти необходимо для хранения этих отсчетов. Если вы- |
|
брать Y _эфф, то количество отсчетов будет равно |
2.7 |
A 2c9_эффd 2 e |
|
Величина e 9 ∙ _эфф называется базой финитного сигнала, а величина A называет-
ся размерностью сигнала. Размерность сигнала не зависит от его длительности Y и определяется только его спектральными, корреляционными и частотными характеристиками. Величина A определяет минимально число отсчетов, необходимое для хорошего восстановления сигнала, т. е., в этом случае ошибка + оказывается незначительной, при этом, количество ячеек памяти, необходимое для хранения отсчета сигналов, оказывается также минимальным и равным A.
4