АСП Kонтрольная №1
.pdfМосковский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов»
Контрольная работа № 1
Вариант № 1
1. Рассматривается случайный процесс (t) 3 t 2 2t , где – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону~ Exp( ) . Найти закон распределения сечения этого процесса и характеристики: m (t), D (t), (t), K (t1 ,t2 ), r (t1 ,t2 ) .
2. Заданы случайные процессы (t) U sin 2t V cos 2t ,(t) U cos3t V sin 3t , где U и V – стандартизованные
некоррелированные (т.е. с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и нулевой ковариацией между ними) случайные величины. Найти автоковариационные функции этих процессов, а также взаимную ковариационную функцию этих процессов.
3. Дана случайная функция X (t) U exp(2t) , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0; 6) . Найти
t
характеристики функции Z (t) t X ( )d X (t): mZ (t) , K Z (t1 , t2 ) .
0
4. Дана спектральная плотность стационарного случайного процесса:
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
, 0 0 , 0 |
0, |
S X |
|
|
|||
( ) 0 |
Определить автоковариационную |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0, else |
|
функцию и дисперсию случайного процесса Y (t) dX (t) . dt
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 2
1. Рассматривается случайный процесс (t) t 3 t 2 , где – случайная величина, распределенная по равномерному закону
~ R( 3, 5) . Найти закон распределения сечения этого процесса и характеристики: m (t), D (t), (t), K (t1 ,t2 ), r (t1 ,t2 ) .
2. Случайная функция Z (t) задана своим каноническим разложением X (t) t 3 3t Ut3 Vt 2 Wt , где U ,V , W – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 3, D(W ) 1. Найти характеристики
случайной функции Y (t) t |
dX (t) |
3t 3 : m |
|
(t), K |
|
(t |
, t |
|
) , |
D (t) . |
|||||||
|
Y |
Y |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
Y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Дана случайная функция X (t) U sin 3t , где U – случайная |
|||||||||||||||||
величина, распределенная по нормальному закону N (2, 4) . Найти |
|||||||||||||||||
характеристики функции Y (t) |
dX (t) |
3X (t) : mY |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dt |
(t) , |
KY (t, t ) . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Дана корреляционная функция стационарного случайного |
|||||||||||||||||
процесса: k |
X |
( ) 2 exp( | |) . Определить спектральную |
|||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
плотность S |
|
( ) случайного процесса Y (t) a |
dX (t) |
. |
|
|
|
||||||||||
Y |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 3
1. Рассматривается случайный процесс X (t) t 2 mt , где – случайная величина, распределенная по нормальному закону
~ N(m, 2 ) . Найти закон распределения сечения этого процесса, m (t), D (t), (t), K (t1 ,t2 ), r (t1 ,t2 ) .
2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением: X (t) 4 sin t V1 sin 2t V2 cos3t , DV1 3, DV2 2 .
Найти характеристики с.ф. Y (t) cost dX (t) sin 2t : mY (t) , dt
KY (t, t ) , DY (t) .
3. Дана случайная функция X (t) U exp( 4t) , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(1; 3) . Найти
характеристики функции Y (t) exp(t) X (t) dX (t) : mY (t) , KY (t, t ) . dt
4. Дана спектральная плотность стационарного случайного процесса
X (t) : S* |
( ) с , c 0 , |
0 |
, |
|
0 |
0 . Определить |
X |
|
0 |
|
|
автокорреляционную функцию KY ( ) стационарного процесса
Y (t) a dX (t) . dt
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 4
1. Рассматривается гармоническое колебание (t) Acos3t со случайной амплитудой A , распределенной по равномерному закону: A ~ R(0, 4) . Найти одномерную плотность и функцию распределения
случайного процесса (t) , а также m (t), D (t), (t), |
K (t1 ,t2 ), |
||||||||||
r (t1 ,t2 ) . Установить, является ли данный случайный процесс |
|||||||||||
стационарным в широком смысле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Случайный процесс X (t) задан своим каноническим |
|
|
|
|
|||||||
разложением: X (t) t 2 t 1 V t |
3 V t 2 , |
DV 3, DV |
2 |
4 . Найти |
|||||||
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
характеристики процесса Z (t) t 2 |
|
dX (t) |
t 3 : m |
|
(t) , K |
|
(t |
, t |
|
) , |
|
|
|
Z |
Z |
2 |
|||||||
|
|
dt |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DZ (t) .
3. Дана случайная функция X (t) Ut2 , где U – случайная величина, распределенная по нормальному закону N (1; 9) . Найти
t
|
|
|
характеристики функции Z (t) X ( )d 4X (t) : mZ (t) , K Z (t, t ) . |
||
|
0 |
|
4. Дана автоковариационная функция стационарного случайного |
||
C(1 | |), | | 1 |
|
|
процесса: K X ( ) |
|
, С 0 . Определить |
0, else |
|
|
спектральную плотность S* ( ) |
этого случайного процесса. |
|
X |
|
|
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 5
1. Рассматривается случайный процесс X (t) t b , где – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону~ Ex(1 ) . Найти закон распределения сечения этого процесса, m (t), D (t), (t), K (t1 ,t2 ), r (t1 ,t2 ) .
2. Случайный процесс X (t) имеет характеристики
mX (t) 0, K X (t1 , t2 ) exp (t1 t2 ) . Случайный процесс
t
Y (t) X ( )d . Найти характеристики случайного процесса Y (t) :
0
mY (t) , KY (t, t ) , DY (t) , и определить, будет ли он стационарным. 3. Случайный процесс X (t) имеет характеристики mX (t) 1,
K X (t1 , t2 ) 4 cos(t1 |
t2 ) . Найти характеристики случайного процесса |
||||||
Y (t) X (t) 2 |
dX (t) |
1: |
|
|
|
|
|
dt |
|
mY (t) , |
KY (t, t ) , и определить, будет ли он |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
стационарным. |
|
|
|
|
|
|
|
4. Стационарный случайный процесс X (t) имеет спектральную |
|||||||
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
| | 0 , a 0 , 0 0 . Найти |
||
|
|
|
|
|
|||
плотность S X ( ) a 1 |
0 |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
корреляционную функцию случайного процесса aX (t) .
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 6
1. Рассматривается случайный процесс (t) Ut V , где U и V – некоррелированные случайные величины, распределенные по нормальным законам U ~ N (1; 2) и V ~ N (1; 4) . Найти закон распределения сечения этого процесса, m (t), D (t), (t),
K (t1 ,t2 ), r (t1 ,t2 ) .
2. Случайный процесс X (t) имеет характеристики
mX (t) 1, K X (t1 ,t2 ) Acos (t1 t2 ) , A –постоянная. Найти
характеристики случайного процесса Y (t) a X (t) b и определить, dt
будет ли он стационарным.
3. Случайный процесс X (t) задан своим каноническим разложением: X (t) 2 V1 cost V2 sin t , DV1 3, DV2 2 . Найти корреляционную функцию случайного процесса
Z (t) 3X (t) dX (t) . dt
4. Стационарный случайный процесс X (t) имеет спектральную
|
|
|
2 |
|
|
|
|
плотность S X |
|
|
2 |
|
, | | 0 |
, a 0 , 0 |
0 . Определить |
( ) a 1 |
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
дисперсию случайного процесса Y (t) dX (t) . dt
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 7
1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut2 V , где U и V – некоррелированные случайные величины, распределенные по одному и тому же нормальному закону N (1; 9) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание
mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию
K X (t1 , t2 ) .
2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) 1 t t 2 Ut Vt 2 , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) D(V ) 2 . Найти характеристики случайной функции Y (t) t t X (s)ds .
0
3. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) 1 | | . Найти взаимную корреляционную
функцию случайных функций X (t) и Y (t) dX (t) . dt
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию KX ( ) 2 cos( ) , | | T . Найти спектральную
плотность случайной функции Y (t) 1 X (t) .
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 8
1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut , где U – случайная величина, распределенная по показательному закону Exp(1/ ) , а const. Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .
2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) 3t 2 U sin 3t V cos 2t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) 1, D(V ) 2 . Найти характеристики случайной
t
функции Y (t) X (s)ds 3 .
0
3. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) exp( | |) (1 | |) . Найти корреляционную
функцию случайной функции Y (t) a dX (t) . dt
4. Спектральная плотность случайной функции X (t) имеет вид:
S X ( ) a 1 | | , | | 1. Найти дисперсию случайной функции
Y (t) aX (t) b dX (t) . dt
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 9
1. Рассматривается случайная функция X (t) U t t , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0; 4) . Найти закон распределения сечения этой функции,
математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .
2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) cos3t U sin 3t V cos3t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) 4, D(V ) 2 . Найти характеристики случайной
функции Y (t) sin 3t |
dX (t) |
cos3t : m |
|
(t), K |
|
(t |
, t |
|
) , |
D (t) . |
|
Y |
Y |
2 |
|||||||
|
dt |
|
1 |
|
|
Y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Случайная функция X (t) Ut 3 , где U – случайная величина, распределенная по нормальному закону N (1, 4) . Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной
функции Y (t) t dX (t) X (t) . dt
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) 1 | |, | | T . Найти спектральную плотность
случайной функции Y (t) aX (t) b dX (t) . dt
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 10
1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut2 V , где U , V – некоррелированные случайные величины, распределенные по нормальным законам U ~ N (4,5), V ~ N (4,5) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию
K X (t1 , t2 ) .
2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) 8t 2 Ut Vt 2 Wt 3 , где U ,V ,W – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 4, D(V ) 3, D(W ) 2 . Найти характеристики случайной функции X (t) : mX (t), K X (t1 , t2 ) , а также случайной
t
функции Y (t) X ( )d 3t : mY (t), K Y (t1 , t2 ) , DY (t) .
0
3. Случайная функция X (t) U sin t , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0, 1) . Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной
функции Y (t) cos t X (t) sin t dX (t) . dt
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) exp( | |) . Найти спектральную плотность
S * ( ) |
случайной функции Y (t) a |
dX (t) |
b . |
|
|||
Y |
|
dt |
|
|
|
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 11
1. Рассматривается случайная функция X (t) Acos( 0t U) , где U
– случайная величина, распределенная по равномерному закону R( ; ) , A и 0 - константы. Найти математическое ожидание
mX (t), корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) , дисперсию DX (t) иX (t) . Определить, является ли этот процесс стационарным.
2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) t 3 t 2 3 Ut2 Vt3 , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 3. Найти характеристики
mY (t), K Y (t1 , t2 ) случайной функции Y (t) (t 2)X (t) t 2 2 .
3. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию KX ( ) 2 cos . Найти корреляционную функцию
случайной функции Y (t) X (t) dX (t) . dt
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет спектральную плотность SX* ( ) a | | , | | a , a 0 . Найти дисперсию
случайной функции Y (t) 1 dX (t) . a dt
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 12
1. Рассматривается случайная функция X (t) U 2Vt , где U , V – некоррелированные случайные величины, распределенные по нормальным законам U ~ N (1, 4), V ~ N (2, 1) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) . 2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) 3cos 4t 2U sin 4t 3V cos 4t , где U ,V –
некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 1. Найти характеристики
m |
|
(t), K |
|
(t |
, t |
|
) |
Y (t) cos 4t |
dX (t) |
X (t) . |
Y |
Y |
2 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную
функцию K X ( ) exp( 2 | |) . Найти взаимную корреляционную |
||||
функцию случайных функций X (t) и Y (t) a |
dX (t) |
. |
||
|
||||
|
|
|
dt |
|
4. Спектральная плотность случайной функции X (t) имеет вид: |
||||
S X ( ) |
|
2 |
|
|
|
, | | 0 , 0 0 . Найти дисперсию случайной функции |
|||
|
0 |
Y (t) dX (t) . dt
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 13
1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut4 2 , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0; 4) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .
2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) sin 3t 1 U sin 2t V cos3t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) 3, D(V ) 2 . Найти характеристики случайной функции Y (t) t X ( )d : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .
0
3. Случайная функция X (t) U cos3t , где U – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону Exp( 2) . Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной
функции Y (t) X (t) dX (t) . dt
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет спектральную плотность SX ( ) ae 0| | , a 0, 0 0 . Определить корреляционную функцию K X ( ) этой функции.
Московский технический университет связи и информатики
Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 |
Утверждаю |
|
Зав. кафедрой ТВиПМ |
||
Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр |
||
|
||
Дисциплина «Анализ случайных процессов» |
|
|
Контрольная работа № 1 |
|
|
Вариант № 14 |
|
1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut Vt , где U , V – некоррелированные случайные величины, распределенные по нормальным законам U ~ N (2, 1), V ~ N (2, 4) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .
2. Случайная функция X (t) |
задана своим каноническим |
||||
|
|
|
|
|
|
разложением X (t) |
3t U |
|
2t 3Vt , где U ,V – |
некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю и дисперсиями D(U ) D(V ) 4 . Найти характеристики случайной
t
функции Y (t) t X ( )d : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .
0
3. Дана корреляционная функция стационарного случайного процесса: K X ( ) C 1 | | , С, 0 . Определить взаимную корреляционную функцию случайных функций aX (t) и
Y (t) b dX (t) . dt
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) 2 exp( | |) , 0. Найти спектральную
плотность случайной функции Y (t) aX (t) b dX (t) . dt
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 15
1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut2 2 , где U – случайная величина, распределенная по нормальному закону N (2; 4) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .
2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) t 5 U sin 5t 3V cos5t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 1. Найти характеристики случайной
t
функции Y (t) t 2 X ( )d : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .
0
3. Случайная функция X (t) U sin t V cost , где U – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону Exp( 1) , а V – случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0, 1) . С.в. U и V некоррелированы. Найти mY (t), K Y (t1 , t2 )
случайной функции Y (t) dX (t) . dt
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет спектральную плотность SX* ( ) e | | , 0 . Определить дисперсию случайной
функции Y (t) dX (t) . dt
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 16
1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut3 a , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R( a; a) , a const . Найти закон распределения сечения этой
функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .
2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) t 2 U sin 2 t V cos2 t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 3 . Найти характеристики случайной функции Y (t) sin t X (t) cost : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .
3. Случайная функция X (t) Ut2 , где U – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону Exp( 1) . Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной
функции Y (t) t 2 dX (t) tX (t) . dt
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X ( ) 1 | |, | | 1. Найти спектральную плотность случайной функции Y (t) aX (t) .
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 17
1. Рассматривается случайная функция X (t) Ut3 V , где U и V – некоррелированные случайные величины, распределенные по нормальному закону N(1; 2 ) . Найти закон распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсию
DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .
2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) cos(2t) U sin(2t) V cos(2t) , где U ,V –
некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 3 . Найти характеристики случайной
функции Y (t) sin(2t) |
dX (t) |
cos(2t) : m |
|
(t), K |
|
(t |
, t |
|
) . |
|
Y |
Y |
2 |
||||||
|
dt |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Заданы случайные процессы (t) U sin t V cost ,(t) U cost V sin t , где U и V – центрированные
некоррелированные случайные величины с дисперсиями D(U ) 2, D(V ) 3 . Найти корреляционные функции этих процессов, их
взаимную корреляционную функцию, а также корреляционную функцию их суммы.
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную
функцию k |
X |
( ) 2 exp( | |) |
, 0 . Определить дисперсию |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
случайной функции Y (t) |
|
1 |
|
dX (t) |
. |
|||
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
Московский технический университет связи и информатики
Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 |
Утверждаю |
|
Зав. кафедрой ТВиПМ |
||
Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр |
||
|
||
Дисциплина «Анализ случайных процессов» |
|
|
Контрольная работа № 1 |
|
|
Вариант № 18 |
|
1. Рассматривается случайная функция X (t) 2exp( Ut), где U –
случайная величина, распределенная по равномерному закону R(0; 2) . Найти плотность распределения сечения этой функции,
математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) .
2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим разложением X (t) cos t U sin t V cos t , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями D(U ) 4, D(V ) 1. Найти характеристики случайной
t
функции Y (t) X ( )d : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .
0
3. Заданы случайные процессы (t) t Ut2 Vt 2 , (t) t 2 Ut Vt ,
где U и V – некоррелированные стандартизованные (т.е. с нулевыми математическими ожиданиями и нулевой ковариацией между ними) случайные величины. Найти нормированные корреляционные функции этих процессов, а также взаимную корреляционную функцию этих процессов.
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет спектральную
плотность S X* |
, |
при | | |
0 |
, |
|
|
|
|
( ) |
|
|
. Определить взаимную |
|||||
|
0, |
при | | 0 |
|
|
|
|
||
корреляционную функцию случайных функций |
X (t) и Y (t) |
dX (t) |
. |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 19
1. Рассматривается случайная функция X (t) cos(U t) , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону
R(0; 2 ) , const . Найти математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) . 2. Случайная функция X (t) задана своим каноническим
разложением X (t) et Ue at Ve bt , где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями
D(U ) 3, D(V ) 2 . Найти характеристики случайной функции
Y(t) e t X (t) et : mY (t), K Y (t1 , t2 ) .
3. Случайная функция X (t) Ut2 , где U – случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону Exp( ) , Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной
функции Y (t) X (t) dX (t) . dt
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет спектральную
плотность SX ( ) 1 | | , 0 , 1/ 1/ . Определить корреляционную функцию случайной функции X (t) .
Московский технический университет связи и информатики
Утверждаю Факультеты ОТФ-1, ОТФ-2 Зав. кафедрой ТВиПМ Направление 11.03.02 2 курс, 4 семестр
Дисциплина «Анализ случайных процессов» Контрольная работа № 1
Вариант № 20
1. Рассматривается случайная функция X (t) sin(U t) , где U – случайная величина, распределенная по равномерному закону R( ; ) , const . Найти математическое ожидание mX (t), дисперсию DX (t), X (t) и корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) . 2. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию суммы двух некоррелированных случайных функций X (t) и Y (t) . X (t) имеет характеристики mX (t) t 2 ,
K X (t1 , t2 ) t1t2 exp( (t1 t2 )) , а Y (t) задано своим каноническим разложением Y(t) e t Ut2 Vt 2 где U ,V – некоррелированные случайные величины с м.о., равными нулю, и дисперсиями
D(U) D(V ) 2 .
3. Случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию K X (t1 , t2 ) 4 exp(2(t1 t2 )) . Найти корреляционную функцию
1 t
случайной функции Y (t) X (t) 4 0 X ( )d .
4. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию k X ( ) exp( | |) , 0 . Найти спектральную
плотность случайной функции Y (t) 1 dX (t) .
dt