Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях

Заданы две выборки .

Дополнительные предположения:

• обе выборки простые и нормальные;

• значения дисперсий известны априори; это означает, что дисперсии были оценены заранее не по этим выборкам, а исходя из какой-то другой информации; случай «неизвестных дисперсий», когда такого источника информации нет и дисперсии приходится оценивать по самим выборкам, описан ниже.

Нулевая гипотеза (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

имеет стандартное Нормальное распределение , где

— выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости ):

• против альтернативы

  • если , то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы

  • если , то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы

  • если , то нулевая гипотеза отвергается;

где есть -квантиль стандартного нормального распределения.

Сравнение двух выборочных средних при неизвестных равных дисперсиях

Заданы две выборки .

Дополнительные предположения:

• обе выборки простые и нормальные;

• значения дисперсий равны: , но априори не известны.

Нулевая гипотеза (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, где

— выборочные дисперсии;

— выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости ):

• против альтернативы

  • если , то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы

  • если , то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы

  • если , то нулевая гипотеза отвергается;

где есть -квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы.

Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях

Задача сравнения средних двух нормально распределённых выборок при неизвестных и неравных дисперсиях известна как проблема Беренса-Фишера. Точного решения этой задачи до настоящего времени нет. На практике используются различные приближения.

Заданы две выборки .

Дополнительное предположение: обе выборки простые и нормальные.

Нулевая гипотеза (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

где

— выборочные дисперсии;

— выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости ):

• против альтернативы

  • если , то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы

  • если , то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы

  • если , то нулевая гипотеза отвергается;

где квантили определяются по-разному в различных приближениях:

• Критерий Кохрена-Кокса:

• , где есть -квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы;

• Критерий Сатервайта:

• есть -квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы

• Критерий Крамера-Уэлча:

• есть -квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы