35. Вариационный ряд и его свойства. Гистограмма

Вариационный ряд (упорядоченная выборка) - Последовательность x1<=x2<=x3<=...<=xn, полученная в результате расположения в порядке неубывания исходной последовательности независимых одинаково распределенных случайный величин х1, х2,...хn.

Правило трёх сигм ({\displaystyle 3\sigma }3σ) гласит: вероятность того, что любая случайная величина отклонится от своего среднего значения менее чем на {\displaystyle 3\sigma }3σ,

{\displaystyle P(|\xi -E\xi \mid <3\sigma )\geq {\frac {8}{9}}}.

Практически все значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале {\displaystyle \left(\mu -3\sigma ;\mu +3\sigma \right)}(μ-3σ; μ+3σ), где μ=Еξ {\displaystyle \mu =E\xi } — математическое ожидание случайной величины. Более строго — приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале.

Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Наиболее часто используют следующие виды графического представления характеристик выборки: полигон, гистограмма и кумулятивная кривая. Гистограмма и полигон позволяют выявить преобладающие значения признака и характер распределения частот и относительных частот

Полигон - ломаная линия с координатами (x_i, m_x) где x_i откладываются на оси абсцисс, а m_x – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные, а относительные (w_i) частоты, то получим полигон относительных частот.

Полигон служит обычно для представления дискретного вариационного ряда. В системе координат (x_i, m_x) строятся точки, соответствующие значениям частот или относительных частот ряда, а затем эти точки соединяются прямыми линиями.

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной n_i/h (гистограмма частот) или w_i/h (гистограмма относительных частот).

В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором – единице.

Гистограмма – прямоугольники, с основаниями, равными интервалам значений признака и высотами, равными частотам.

Полигон (гистограмма) аналогичны кривой распределения, эмпирическая функция распределения – функции распределения случайной величины.

Гистограмма — это диаграмма, используемая, как правило, для представления интервального вариационного ряда.

Наиболее существенное отличие от полигона в том, что частота и относительная частота отображаются не точкой, а прямой, параллельной оси абсцисс на всем интервале.

Это объясняется тем, что данная частота (относительная частота) относится не к дискретному значению признака, а ко всему интервалу.

36. Эмпирическая функция распределения.

Функция F_n(x) обладает следующими свойствами:

• 1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1];

• 2) F_n(x) - неубывающая функция;

• 3) если х, - наименьшая варианта, то F_n(x)= 0 при х< х_к ,; если х_к - наибольшая варианта, то F_n(x) = 1 при х>х_к.

Эмпирическая функция распределения F_n(x) обладает всеми свойствами обычной функции распределения.