Теория / 1-2

►Так как цифры могут повторяться, получаем размещения с повторениями из пяти элементов по три. Воспользуемся формулой (5):

эклеры, бисквит, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 8

пирожных.

►Покупки отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний пяти видов пирожных по восемь, причем сочетаний с повторениями

(6):

определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака и повторений попыток не будет?

►Так как буквы могут повторяться и порядок букв имеет значение,

1.5.Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема 1. Сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна

которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий 1 + 2 + 3 +

+ .

Следствие

Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

( 1 + 2 + 3 + + ) = ( 1) + ( 2) + ( 3) + ( ).

События и называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от появления или не появления другого.

Примеры:

1. При двух повторных подбрасываниях монеты «орел» выпал дважды – понятно, что вероятность выпадения «орла» во втором испытании никак не зависит от исхода первого.

2. Из колоды (36 карт) последовательно вытаскивают две карты.

Событие заключается в том, что в первый раз вытянули карту пиковой масти, а событие – в том, что во второй раз вытянули карту бубновой масти.

События и являются зависимыми. Действительно, после того как вытянули карту пиковой масти в колоде осталось 35 карт и вероятность вытянуть карту бубновой масти равна ( ) = 1835.

Теорема 2. О вероятности совместного появления независимых событий

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любое произведение остальных событий (содержащее либо все остальные события, либо часть из них) являются независимыми событиями.

Требование независимости в совокупности сильнее требования попарной независимости событий.

Теорема 3. Вероятность совместного появления нескольких событий,

независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

(1 2 3 ) = (1) ∙ (2) ∙ (3) ∙ ∙ ( ).

Пример. Испытание состоит в одновременном броске симметричной монетки, игральной кости и вытягивании карты из колоды в 52 карты. Какова вероятность того, что монетка выпала «решкой», на кости выпало шесть очков и карта, вытянутая из колоды, оказалась тузом?

► Пусть событие – выпадение монетки «решкой» вверх, событие -

выпадение шести очков на кости, а событие С – из колоды вытянули туза.

Тогда ( ) = 12 , ( ) = 16 , ( ) = 524 = 131 . Так как все испытания независимы,

то по теореме о вероятности произведения событий искомая вероятность равна

( ) = 12 ∙ 16 ∙ 131 = 1561 ≈ 0,006. ◄

Пусть события и зависимые. Тогда вероятность события зависит от того, наступило ли событие .

Условная вероятность

Условной вероятностью события называется вероятность события ,

вычисленная в предположении, что событие уже наступило. И обозначается

( ), или ( / ).

Теорема 4. О вероятности произведения зависимых событий

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,

вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

( ) = ( ) ∙ ( ) = ( ) ∙ ( ) (9)

Заметим, что теорема 2 о вероятности произведения независимых событий является частным случаем теоремы 4, так как для независимых событий и , очевидно, ( ) = ( ).

Следствие

Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли

(1 2 3 ) = (1) ∙ 2(1) ∙ ∙ 1 2 3 −1( )

Пример. При подготовке к экзамену студент выучил 25 вопросов из 30. В

билете три вопроса. Какова вероятность того, что студент знает все три вопроса во взятом им наудачу билете?

►Пусть - событие, означающее, что студент знает ответ на i-ый вопрос

вбилете (i=1, 2, 3). Тогда событие, означающее, что студент знает все три вопроса: = 1 ∙ 2 ∙ 3. А вероятность такого события будет равна:

( 1 2 3) = ( 1) ∙ 1( 2) ∙ 1 2( 23) = 2530 ∙ 2429 ∙ 2328 = 115203 ≈ 0,567. ◄

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть и – два совместных события, т.е. появление одного из них не исключает появление другого в том же испытании. Это означает, что ( ) > 0. Чему в этом случае равна вероятность суммы событий и ? Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Заметим, что эта же формула верна и для несовместных событий,

поскольку вероятность их совместного появления равна 0 и в этом случае

получаем уже известную формулу (7).

Пример. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени.

Вероятность попадания в цель у первого равна 0,7, а у второго 0,6. Какова

вероятность попадания в цель хотя бы одним стрелком?

►Пусть событие - попадание в цель первым стрелком, а – вторым.

Тогда по теореме 5, вероятность попадания в цель хотя бы одним стрелком

равна ( + ) = 0,7 + 0,6 − 0,7 ∙ 0,6 = 0,88. ◄

Вероятность появления хотя бы одного из событий 1, 2, 3, , ,

независимых в совокупности, равна разности между единицей и

Пример. Предположим, что в условиях предыдущего примера студент ответил на первый вопрос правильно. Какова вероятность того, что этот вопрос был ему не знаком?

►В этом примере гипотезами служат события A и ̅, определенные в решении предыдущего примера, а событие считается уже произошедшим,

т.е. достоверным. Искомую вероятность найдем по формуле (14):

Из примера видно, что лучше учить вопросы к экзаменам, а не рассчитывать на то, что удастся хорошо ответить экспромтом.