Теория / 4-5

Лекция 4

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Мы уже сталкивались с примерами, когда возможным исходам испытания сопоставлялись некоторые числа. Например, если событие состоит в броске игральной кости, то каждый исход – выпадение определенного числа очков – можно сопоставить этому числу. Мы заранее, до броска, не знаем сколько очков выпадет, поэтому, говорим, что число выпавших очков является случайной величиной. Итак, случайной мы называем величину, которая в результате испытания примет одно из возможных значений, заранее неизвестное и зависящее от условий, которые не могут быть учтены.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретная в данном случае означает, что случайная величина может принимать только лишь некоторые изолированные друг от друга значения. О

непрерывных величинах мы поговорим в следующей главе.

Случайную величину можно описать как числовую функцию,

определенную на множестве элементарных исходов. Например, количество баллов, полученных на ЕГЭ по математике среди ста возможных – величина случайная, которая может принимать значения от 0 до 100 (конечно, все зависит от подготовки).

Случайные величины будем обозначать заглавными латинскими буквами

X, Y, Z и т.д., а значения, которые они могут принимать – соответствующими строчными буквами с индексами. Например, если случайная величина X

может принимать три значения, то эти значения мы будем обозначать через

1, 2 и 3.

При таком понимании случайных величин, дискретные случайные величины определим как случайные величины, которые принимают не более счетного множества отдельных возможных значений с определенными вероятностями.

Примерами дискретных случайных величин могут служить:

1

а) число успехов в серии испытаний Бернулли;

б) суммарное число очков, выпавшее на трех игральных костях;

в) количество пассажиров, прошедших через турникет станции метро за

1 минуту;

г) число попыток, необходимых студенту для успешной сдачи экзамена по теории вероятностей.

1.1.Закон распределения дискретной случайной величины

Для того чтобы задать дискретную случайную величину, необходимо задать множество значений, которые она может принимать и соответствующие вероятности, с которыми она принимает эти значения, т.е.

закон распределения дискретной случайной величины. Иными словами,

законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически и графически.

Последовательность пар образует ряд

распределения. В случаях, когда случайная величина может принимать конечное число значений, будем описывать закон распределения с помощью таблицы, которая будет рядом распределения дискретной случайной величины

(таблица 2).

Таблица 2. Ряд распределения дискретной случайной величины

ограничения. Во-первых, как любая вероятность, они должны быть не отрицательными и не превышающими единицы: 0 ≤ ≤ 1. А во-вторых, их

2

сумма должна быть равна 1: ∑ =1 = 1, поскольку случайная величина X

достоверно принимает какое-то одно из своих возможных значений.

Таблицу распределения можно представить в виде полигона

(многоугольника) распределения. Для этого просто соединяем отрезками точки ( , ) плоскости XOY (см. рис. 5).

Y

Рисунок 5. Полигон распределения

1.2.Функция распределения дискретной случайной величины

Для наглядности закон распределения случайной величины изображают графиком функции распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины называют функцию,

значение которой в точке x равно вероятности того, что значение случайной величины строго меньше x.

Функцию распределения случайной величины X будем обозначать через

( ), или просто ( ), если понятно о какой случайной величине идет речь.

По определению, ( ) = ( < ). Для дискретной случайной величины график функции распределения является ступенчатой функцией со скачками

в точках и представляет собой набор отрезков, параллельных оси OX,

напоминает «лесенку», т.е. функция распределения – сумма вероятностей тех значений, которые расположены левее (см. рис. 6).

симметричной игральной кости. Начертить график функции распределения.

►При броске игральной кости может выпасть любое число от 1 до 6, при этом, так как кость симметричная, то эти события равновозможны.

График этой функции – кусочно-постоянная линия, изображенная на рисунке 7.

4

1

5/6

4/6

3/6

2/6

1/6

3.Функция ( ) неубывающая.

4.( ≥ ) = 1 − ( < ) = 1 − ( ).

5.( 1 ≤ ≤ 2) = ( 2) − ( 1).

Событие попадания в интервал (−∞; 2) можно представить в виде суммы двух событий { < 2} = { < 1} + { 1 ≤ < 2}.

Так как слагаемые в правой части – события несовместные, то

{ < 2} = { < 1} + { 1 ≤ < 2}.

Заменяя первые две из этих вероятностей на функцию распределения,

1.3.Числовые характеристики дискретной случайной величины

Итак, дискретная случайная величина полностью характеризуется своим законом распределения, заданным в виде таблицы или с помощью функции распределения. Однако, в некоторых случаях закон распределения полностью

5

не известен и приходится довольствоваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают некоторые свойства случайной величины. Такие числа будем называть числовыми характеристиками случайной величины.

Одной из таких характеристик является математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X

называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают его в русской литературе M(X), иногда , в

западной литературе чаще E(X) (expectation).

Заметим, что по определению, математическое ожидание случайной величины есть величина неслучайная, т.е. постоянная.

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины X,

определенной в предыдущем примере. ► По формуле (24) имеем:

( ) = 1 ∙ 16 + 2 ∙ 16 + 3 ∙ 16 + 4 ∙ 16 + 5 ∙ 16 + 6 ∙ 16 = 216 = 3,5. ◄

Вероятностный смысл математического ожидания - математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины, т.е. оно характеризует среднее значение случайной величины.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой самой постоянной:

( ) = .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

( ) = ∙ ( ).

2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

6

( ) = ( ) ∙ ( ).

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно

сумме их математических ожиданий:

( + ) = ( ) + ( ).

Теорема 1. О математическом ожидании в независимых испытаниях

Математическое ожидание числа появлений успехов в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления успеха в каждом испытании: ( ) = .

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины, но этого недостаточно. Рассмотрим дискретные случайные величины и , заданные следующими законами распределения:

Таблица 4. Законы распределения случайных величин и

Вычислим их математические ожидания:

( ) = 0,01 ∙ 0,5 + (−0,01) ∙ 0,5 = 0,

( ) = 1000 ∙ 0,5 + (−1000) ∙ 0,5 = 0.

Как мы видим, математические ожидания случайных величин и

совпадают, но, при этом величина принимает значения, близкие к математическому ожиданию, а величина – значения на 1000 отличающиеся от математического ожидания. Очевидно, математическое ожидание характеризует случайную величину не полностью. Нам потребуется еще одна числовая характеристика случайной величины, которая показывает, насколько значения этой величины рассеяны вокруг ее математического ожидания. Но,

для начала, введем еще одно определение.

Отклонением случайной величины называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: − ( ).

7

Заметим, что отклонение случайной величины – это тоже случайная величина. Очевидно, что если случайная величина распределена по

то закон распределения ее отклонения будет следующим:

Таблица 5. Закон распределения отклонения случайной величины

Имеет место следующая

Теорема 2. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

( − ( )) = 0.

Доказательство этого факта непосредственно вытекает из свойств математического ожидания:

( − ( )) = ( ) − (( )) = ( ) − ( ) = 0.

Определим теперь следующую числовую характеристику случайной величины, отвечающую за рассеяние ее значений вокруг математического ожидания.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения, кроме дисперсии служат и некоторые другие

характеристики. К их числу относится среднеквадратическое отклонение.

Среднеквадратическим отклонением случайной величины называют

Пример. Найти дисперсию случайной величины , равной числу

выпавших очков при броске игральной кости.

►Для того, чтобы воспользоваться формулой (25), найдем закон распределения отклонения случайной величины . В предыдущем примере

мы нашли математическое ожидание этой случайной величины, и оно равно

( ) = 3,5. Тогда закон отклонения имеет вид:

По определению дисперсии, получаем:

( ) = (−2,5)2 ∙ 16 + (−1,5)2 ∙ 16 + (−0,5)2 ∙ 16 + 0,52 ∙ 16 + 1,52 ∙ 16 + 2,52 ∙ 16 =

По выше приведенному примеру видно, что вычисление,

непосредственно основанное на определении, оказалось довольно громоздким. Для упрощения вычисления дисперсии удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата и квадратом ее математического ожидания:

►Доказательство этой теоремы также опирается на свойства математического ожидания:

( ) = ( − ( ))2 = ( 2 − 2 ∙ ( ) + ( ( ))2 = ( 2) − 2 ( ) ( ( )) + ( ( ))2 = ( 2) − 2 ( ) ( ) + ( ( ))2 =

( 2) − ( ( ))2,

причем ( 2) вычисляется как частный случай (24):

( 2) = ∑ =1 2 . ◄

9

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

( ) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя

его в квадрат:

( ) = 2 ( ).

3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

( + ) = ( ) + ( ).

4.Дисперсия суммы случайной величины и константы равна дисперсии этой случайной величины (т.е. дисперсия не зависит от сдвига значений случайной величины):

( + ) = ( ).

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме этих величин:

( − ) = ( ) + ( ).

Теорема 4. О дисперсии в независимых испытаниях

Дисперсия числа появлений успехов в n независимых испытаниях, в

каждом из которых вероятность появления успеха постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и не появления успеха в каждом испытании: ( ) = .

Пример. Проводится испытание на надежность трех видеорегистраторов.

Вероятность выхода из строя каждого из видеорегистраторов равна 0,85.

Найти математическое ожидание вышедших из строя видеорегистраторов,

дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

►Решение 1: Так как вероятность выхода из строя каждого из видеорегистраторов одинакова, имеем схему испытаний Бернулли. Для описания закона распределения числа , вышедших из строя регистраторов,

вычислим вероятности по формуле (16):

10