твимс кр / Лекции 1-2.docx

1.1.О предмете теории вероятностей

В жизни мы постоянно сталкиваемся с различными явлениями

(событиями), испытаниями, чреватыми разнообразными исходами. Например,

студент на экзамене по математике (испытание) может получить одну их четырех оценок – 2, 3, 4 или 5 (исходы).

Испытание – некоторый процесс, опыт или эксперимент, в результате которого возможно появление некоторых предсказуемых явлений или исходов. Любой результат испытания называется исходом, который и представляет собой появление определённого события. Число исходов в испытании может быть любым. Когда определяется испытание, необходимо указать, какие именно возможные исходы будут рассматриваться. Таким образом, испытание можно рассматривать как набор возможных исходов.

Событием называется появление некоторого исхода в данном испытании. Например, при броске монетки выпал «орел» – событие.

Испытание в данном случае заключается в самом броске монетки, а

возможных исходов два – выпадение «орла» и выпадение «решки» (исходом,

когда монетка упадет ребром можно пренебречь, вследствие крайней редкости такого явления).

Обозначаются события заглавными латинскими буквами, например: A, B, C..., либо теми же буквами с подстрочными индексами: 1, 2, 3,...

При решении многих практических задач возникает необходимость каким-то образом оценить возможность того или иного исхода в некоторой конкретной ситуации. Такие задачи возникают, например, в страховом деле, в

теории ошибок, при обработке наблюдений и т.д.

При повторении испытаний частота появления разных исходов является устойчивой величиной, т.е. имеет предел при стремлении числа испытаний к бесконечности.

Математическая наука, изучающая общие закономерности случайных явлений независимо от их конкретной природы и дающая методы

количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления,

называется теорией вероятностей.

Теория вероятностей не может предсказать единичное событие, теория вероятностей устанавливает вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий.

1.2.Алгебра событий

Пусть A и B – некоторые события. Рассмотрим следующие операции над событиями:

-событием, противоположным A называется событие ̅, означающее, что событие A не произошло. При любом испытании обязательно произойдет одно из двух взаимно противоположных событий A и ̅. Например, если при выстреле из орудия событие A - попадание в цель, то событие ̅– промах;

-суммой событий A и B называется событие A+B (или A ), означающее,

что произошло хотя бы одно из событий A и B;

- произведением событий A и B называется событие AB (или A∩B),

означающее, что произошли оба события и A и B;

- разностью событий A и B называется событие A-B (или A\B),

означающее, что событие A произошло, в то время как B не произошло.

Операции над событиями аналогичны операциям над множествами,

поскольку в сущности, события можно расценивать как некие наборы исходов.

Суть самих операций удобно демонстрировать с помощью диаграмм Эйлера – Венна, приведенных на рисунке 3.

Для изучения и описания событий, характеризующих различные случайные явления, классифицируем эти события.

Наблюдаемые нами события могут быть достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным называется событие, которое неизбежно произойдет при определенных условиях. Например, при бросании кубика со значениями от одного до шести на гранях обязательно выпадет грань с одним из значений от

1 до 6 (попадание кубика на ребро не учитываем). Событие, которое заведомо не может произойти называется невозможным. Например, при бросании того же кубика со значениями от одного до шести не может выпасть грань со значением семь. Достоверное событие всегда является противоположным невозможному событию. Случайным называется событие, которое может произойти, или не произойти при некоторой совокупности условий.

Например, выпадение «орла» при бросании монеты – событие случайное.

Два, или несколько событий называют равновозможными

(равновероятными), если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например, события 1, 2, 3, 4 извлечения из колоды карт трефы,

пики, червы или бубны равновозможны.

События A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. В противном случае, события A и B называются совместными,

т.е. появление одного из них не исключает появление другого.

Примером несовместных событий могут служить любые противоположные события.

Множество несовместных событий образуют полную группу событий,

если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий. Очевидно, что любая пара противоположных событий образует полную группу.

Например, рассмотрим бросок игральной кости и следующие события:

A - выпало четное число очков;

B - выпало нечетное число очков;

C - выпало 5 очков;

D - выпало менее пяти очков.

Тогда события A и B, A и C и D, A и B и C, A и B и D, A и B и C и D образуют полные группы событий, а остальные комбинации событий полную группу не образуют.

1.3.Определение вероятности

При наблюдении за событиями в различных испытаниях, мы замечаем,

что одни события возникают чаще, другие реже. Количественной мерой этих закономерностей служит вероятность.

Классическое определение вероятности

Множество всех взаимно исключающихся исходов испытания называют

пространством элементарных исходов и обозначают Ω.

Те исходы, при которых интересующее нас событие наступает, назовем

благоприятствующими этому событию.

Вероятностью наступления события A в некотором испытании называют отношение числа m благоприятствующих исходов испытания к числу n всех

возможных несовместных элементарных исходов испытания:

Свойства вероятностей:

1.Вероятность достоверного события равна 1.

2.Вероятность невозможного события равна 0.

3.Вероятность случайного события заключена между нулем и единицей:

0 ≤ ( ) ≤ 1.

Статистическое определение вероятности

Относительной частотой события A называется отношение числа испытаний, в которых событие A появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний и обозначается w(A).

Относительную частоту или число, близкое к ней, принимают в качестве статистической вероятности. Отличие классической вероятности события от его частоты состоит в том, что вероятность вычисляют до опыта, а

относительную частоту – после опыта.

от выбора элемента A) k способами, то пару элементов A и B (в указанном порядке) можно выбрать m·k способами.

Для любого конечного числа элементов правило произведения можно сформулировать в общем виде. Пусть требуется выполнить одно за другим k

действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие –n2 способами, третье –n3 способами и так до k -го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены n1 · n2 ·...· nk способами. Это правило называется основным законом комбинаторики.

Примеры:

1. Сколько существует двузначных чисел?

►В двузначном числе количество десятков может быть обозначено любой цифрой от 1 до 9, а единиц от 0 до 9. Таким образом, существует 10

двузначных чисел вида 1 , десять чисел вида 2 и т.д. Следовательно, всего двузначных чисел 9∙ 10 = 90.◄

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

►Представим пятизначное число одинаково читающееся слева направо и справа налево в виде XYZYX, где X не может быть равно нулю, а Y и Z -

любые. Итак, по правилу произведения, количество цифр, одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9∙ 10 ∙ 10 = 900.◄ 3. В чемпионате Республики по шахматам принимает участие 16

человек. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?

► Золотую медаль может получить один из 16 шахматистов. После получения золотой медали, серебряную медаль может иметь один из 15-ти оставшихся участников. Таким образом, общее количество способов,

которыми могут быть распределены золотая и серебряная медали, равно 16 ·15

= 240. ◄

4. Пароль представляет собой последовательный набор одной буквы из

30 и двух цифр от 0 до 9. Какова вероятность набрать пароль правильно

(событие А) при одном случайном наборе буквы и двух цифр?

►При наборе пароля выбирается одна буква из 30: 1 = 30 и две цифры из 10 каждая: 2 = 10, 3 = 10, т.е. три совместные операции. Тогда число

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся виды комбинаций:

перестановки, размещения и сочетания.

Перестановки

Конечное множество называется упорядоченным, если в нем установлено отношение порядка, т.е. для любых двух различных элементов известно, что один из них предшествует другому, т.е. каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n, где n –

число элементов множества.

Упорядоченные множества считаются различными, если они отличаются либо своими элементами, либо их порядком.

Перестановкой из n элементов называется набор из n элементов,

расположенных в определенном порядке.

Пример. Перестановки множества A = {a, b, c} из трех элементов имеют следующий вид: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Число всех перестановок из n элементов можно вычислить с помощью основного закона комбинаторики. Действительно, при упорядочивании n

элементов, на первое место можно поставить любой из данных n элементов,

на второе – любой из оставшихся (n-1) элементов и т.д. Таким образом, число всех перестановок из n элементов равно

Примеры:

1.Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр: 3, 5, 8, 1, если каждую цифру использовать один раз?

►Каждое число будет некоторой перестановкой исходных цифр. Тогда число различных чисел равно числу перестановок 4!=24. ◄

2.Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?

►Шахматная доска имеет размер 8x8. Ладья бьет любую фигуру,

находящуюся с ней в одной строке, или в одном столбце шахматной доски.

Чтобы ладьи не били друг друга, их нужно разместить в различных столбцах и строках. Пусть первая ладья стоит в первом столбце, вторая – во втором и т.д. Тогда выбор строк для ладей будет являться перестановкой из восьми элементов, т.е. число расстановок ладей равно 8!=40320. ◄

Размещения

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется

размещением из n элементов по k элементов (размещением из n по k).

Очевидно, что 0 ≤ k ≤ n и размещения из n по k – это все k - элементные подмножества (n - элементного множества), отличающиеся составом

элементов или порядком их следования.

Примеры:

1. Сколькими способами можно рассадить 3-х студентов на 22-х местах? ►Рассадка студентов будет отличаться порядком, следовательно используем подсчет числа размещений (3): 322 = (2222!−3)! = 22 ∙ 21 ∙ 20 =

9240. ◄

2. Три оператора сотовой связи могут работать на одном из четырех частотных диапазонов. Какова вероятность того, что при одновременном и независимом сеансе связи (событие С) они будут работать на разных частотах?

► Число, благоприятствующее исходу события С: = 34 = 4!1! = 24. А

так как операторы выбирают частотный диапазон независимо, то по правилу произведения = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64. Тогда искомая вероятность равна ( ) = =

2464 = 38 = 0,375. ◄

Сочетания

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его подмножество, состоящее из k элементов, выбранных в произвольном порядке, называется сочетанием из n элементов по k элементов (сочетанием из n по k). Таким образом, два различных сочетания различаются только составом элементов, порядок следования элементов не имеет значения.

Число всех сочетаний из n по k обозначается и вычисляется:

Примеры:

1. Кодовый замок устроен так, что порядок набираемых цифр не важен, а

каждую цифру можно использовать только один раз. Сколько различных четырехзначных кодов поддерживает этот замок?

►Так как порядок набираемых цифр не важен, для вычисления числа кодов используем формулу (4):

2. У одного филателиста 8 марок, а у второго – 11. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две марки на две?

► Так как надо порядок следования марок не имеет значения, то выбор двух марок - сочетание. Первый филателист может выбрать две марки из восьми 82 способами. Второй может выбрать две марки из одиннадцати