твимс кр / Лекции 4-5

Теперь вычислим математическое ожидание:

( ) = 0 ∙ 0,0034 + 1 ∙ 0,0574 + 2 ∙ 0,3251 + 3 ∙ 0,6141 ≈ 2,55.

При вычислении дисперсии воспользуемся формулой (27), для этого сначала найдем ( 2):

( 2) = 02 ∙ 0,0034 + 12 ∙ 0,0574 + 22 ∙ 0,3251 + 32 ∙ 0,6141 ≈ 6,885.

Тогда ( ) = ( 2) − 2( ) = 6,885 − 2,552 = 0,3825 и

( ) = √ ( ) = √0,3825 ≈ 0,618.

Решение 2 Так как испытания независимы и вероятности выхода из строя каждого из видеорегистраторов равны и постоянны, можем воспользоваться теоремой 4. В нашем случае = 3, = 0,85 = 1 − 0,85 = 0,15.

Тогда, по теореме 4 имеем: ( ) = = 3 ∙ 0,85 ∙ 0,15 = 0,3825.

Очевидно, значения дисперсии, вычисленные по формуле (27) и по теореме 4

полностью совпадают.◄

Случайная величина называется нормированной, если ее математическое ожидание равно 0, а ее дисперсия равна 1.

Пример. Пусть – случайная величина, причем ( ) = и ( ) = .

Доказать, что случайная величина 0 = − – нормированная.

►Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной

величины 0, используя их свойства:

Что и требовалось доказать. ◄

Модой дискретной случайной величины называют ее значение, которое принимается с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями. Обозначают моду случайной величины : О , или строчной

О и:

Графически мода представляет собой вершину полигона распределения.

Распределения могут быть унимодальными (имеющими одну моду),

бимодальными (две моды), мультимодальными (имеющими несколько мод).

Если же в распределении посередине не максимум, а минимум, то такое

распределение называется антимодальным.

Чаще всего мода случайной величины встречается в результате проведения серии эксперимента, описываемого случайной величиной,

например, используется в экономических расчетах, при выявлении

т.е., вероятность того, что случайная величина окажется меньше или больше медианы равна 0,5.

Графически, медианой является абсцисса точки, в которой площадь,

ограниченная кривой распределения делится пополам. Заметим, что так как вся площадь должна быть равна единице, то функция распределения в этой точке: ( )=0,5.

Следует отметить, что медиана обладает, так называемым оптимальным свойством: сумма произведений отклонений значений случайной величины от медианы на соответствующие вероятности меньше чем от любой другой величины, т.е.:

∑ =1| − | ∙ = .

12

Это свойство широко используется, например, в логистике.

Однако, не все дискретные случайные величины имеют медиану.

Примеры:

1. Закон распределения случайной величины задан в виде таблицы:

Найти моду и медиану случайной величины .

►По определению моды, получаем:

Таким образом, мода О = 4.

Для того, чтобы найти медиану, рассмотрим значения вероятностей( < ), т.е. ( < ) = ∑ −=11 ( = ). По данным исходного закона распределения:

( < −3) = ( ) = 0;( < 1) = ( = −3) = 0,2;

( < 4) = ( = −3) + ( = 1) = 0,2 + 0,3 = 0,5.

Получили вероятность, равную 0,5 = 4 и уже нет необходимости находить ( < 5). ◄

2. Закон распределения случайной величины задан в виде следующей таблицы:

X 0 1

P 0,8 0,2

Найти моду и медиану случайной величины .

►Как и в предыдущем примере, имеем:

т.е. значение 0 принимается с наибольшей вероятностью О = 0.

Найдем медиану:

13

( < 0) = ( ) = 0;

( < 1) = ( = 0) = 0,8.

Очевидно, нет значения случайной величины , при котором ( < ) = 0,5.

Поэтому, указанная случайная величина медианы не имеет. ◄

Начальные и центральные моменты

Рассмотрим еще некоторые числовые характеристики случайной

величины.

Начальным моментом -ого порядка случайной величины называется

В частности, дисперсия – центральный момент 2-ого порядка:

( − ( ))2 = 2.

Заметим, что центральные моменты могут быть выражены через начальные: 2 = ( ) = (2) − (( ))2 = 2 − 12.

14