- •Прямоугольные, квадратные, треугольные и диагональные матрицы. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование матриц. Основные свойства этих операций.
- •2. Определители 2-го и 3-го порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Определение определителя 𝑛-го порядка. Разложение определителя по строке и столбцу
- •3. Основные свойства определителей. Вычисление определителей с помощью свойств. Определитель произведения квадратных матриц и транспонированной матрицы.
- •4. Формулы Крамера. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.
- •6. Решение матричных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.
- •7 . Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Сохранение ранга матриц при элементарных преобразованиях. Способы нахождения ранга. Базисный минор. Теорема о базисном миноре.
- •11. Вектор как направленный отрезок. Линейные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.
- •1 9. Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Прямая как линия пересечения плоскостей.
- •20. Взаимное расположение двух прямых. Нахождение угла между прямыми. Расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми.
- •21. Прямая и плоскость в пространстве, их взаимное расположение. Расстояние от точки до плоскости. Нахождение угла между прямой и плоскостью.
- •22. Пересечение прямой и плоскости, нахождение проекций точек на прямую и плоскость и симметричных точек. Нахождение расстояний: от точки до плоскости, от точки до прямой, между плоскостями.
Прямоугольные, квадратные, треугольные и диагональные матрицы. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование матриц. Основные свойства этих операций.
Прямоугольная – размер M x N.
Квадратная – размер N x N.
Диагональная – все элементы, кроме главной диагонали равны 0.
Е диничная – диагональная матрица, где все ненулевые эл-ты равны 1. Треугольная – матрица, где все эл-ты ниже главной диагонали равны нулю, а эл-ты выше ненулевые (или наоборот)
Суммой матриц А + В является матрица С, где
Произведением матрицы А на некоторое число b (b 0) называется матрица B, у которой все
эл-ты равные а[i, j]*b. То есть, чтобы умножить матрицу на некоторое не равное 0 число, нужно каждый элемент матрицы умножить на заданное число.
Произведением матрицы A a[i, j] размера M x K (m строк, k столбцов) на матрицу
B b[i, j] размера K x N (k строк, n столбцов) называется матрица C c[i, j] размера m n (m строк, n столбцов), каждый элемент c[i, j] с которой есть сумма поэлементных произведений i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B, где 1 i, j n.
Перемножать две матрицы друг на друга мы имеем право только в случае, когда число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице.
Свойства:
A, B – матрицы одного размера, A + B B + A.
A, B, С – матрицы одного размера, (А + В) + С = А + (В + С)
A + A , где – нулевая матрица размерности совпадающей с размерностью матрицы A.
A,B одного размера, R, (A B) A B.
A, , R, A( ) AA. .
A,B,C – квадратные матрицы (AB)*C A*(BC).
A,B,C – квадратные матрицы (A B)*C A*С В*C, C*(A B) C*AC*В
Транспонированная матрица. Пусть задана матрица ( ) A aij размера mn. Если теперь элементы строк этой матрицы записать в столбцы, при этом столбцы записать в строки, то полученная матрица размера nm называется матрицей, транспонированной к данной. Обозначается T ij TA (a ) .
С войства операции транспонирования
2. Определители 2-го и 3-го порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Определение определителя 𝑛-го порядка. Разложение определителя по строке и столбцу
К аждой квадратной матрице А можно однозначно поставить в соответствие число, называемое определителем этой матрицы. Обозначается |A| или det A.
Определителем квадратной матрицы A[i, j] порядка n 1 называется число
Пусть задана квадратная матрица A размера nn . Если взять произвольный элемент матрицы a[i, j] и вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых он стоит (строка i, столбец j), то останется квадратная матрица A’ размера (n 1)(n 1). Для. этой матрицы можно вычислить определитель, который называется минором элемента a[i, j] и обозначается М[i, j]
А лгебраическим дополнением элемента а[i, j] определителя матрицы А называется число . , где i и j - номера строки и столбца, на пересечении которых расположен a[i, j] .
Определитель n-ого порядка