Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича
Предмет:
Основы стеганографии
Файл:

Лекции / Лекция 10 - Расчет вероятности ошибки для ЦВЗ-УШПС

.pdf
Скачиваний:
51
Добавлен:
18.03.2022
Размер:
467.07 Кб
Скачать
☆

Лекция 10. Расчет вероятности ошибки для ЦВЗ-УШПС:

Основная идея УШПС – уменьшить влияние ПС, как помехи, на результат «слепого» декодирования

Погружение:

Сw n = C n + β 1 b λx π' n ,n = 1,2...N

гдеβ, λ некоторые постоянные

 

1

 

N

x = C,π' =

 

C n π' n ,π' n = απ n

N

2

 

 

n=1

Частный случай:

λ = 0, β =1 Cw n = C n +α 1 b π n (ообычно ШПС)

(22)

(23)

Атака аддитивным шумом:

C'w n = Cw n + ε n ,

 

где E{ε n } = 0,Var{ε n } = σε2

(24)

1

Правило слепого декодирования:

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

b = 0, еслиΛ 0

 

Λ =

 

 

 

C'w π' n

(25)

Nα

2

 

 

 

 

n=1

 

b = 1, еслиΛ < 0

 

Подставляя (22) и (24) в (25) получим:

 

Λ = x + β 1 b λx + y = β 1 b + 1 λ x + y,

(26)

 

 

 

 

1

 

N

 

где y =

 

 

ε n π' n

 

 

Nα

2

 

 

 

 

 

 

n=1

 

Если λ=1, то помеха от С(n) будет отсутствовать, но это не означает, что λ=1 является оптимальной величиной, если принять во внимание искажения ПС после погружения ЦВЗ.

2

Искажения при погружении ЦВЗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= E{ C

 

 

 

n C n 2

} = E{

β 1 b

λ

 

 

 

 

 

π' n } = α 2 E{

β 1 b

 

 

w

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

b

 

λ

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

λ

2

 

 

~2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2βλx 1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= α

E{β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

x

 

 

} = α

 

β

 

+

 

 

 

 

 

 

E{x

} ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

1

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где x =

 

 

 

 

 

C N π' n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем последний член в (27):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

N

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E{x

} = E{

 

 

 

 

 

C n π' n } =

 

 

 

E{C n C n' π' n π' n' } =

 

 

 

 

 

 

N

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 n'=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

N

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

E{C n C n' }E{ (n)π' n' } =

 

2

2

 

α

σc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

σc =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

2

 

 

N

2

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 n'=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (28) в (27) получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= α

 

β

+

 

 

σc

 

= α

β

+

 

λ

σc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nα

2

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 } =

(27)

(28)

(29)

3

Найдем параметр УШПС β, при котором искажения ПС при

погружении

 

равны искажениям при погружении обычным ШПС

=α2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α 2 = α 2 β 2

 

λ 2

σ 2

β =

Nα 2 λσ 2

 

 

+

 

c

c

(30)

N

Nα 2

 

 

 

 

 

 

Рассчитаем вероятность ошибки в ЦВЗ-УШПС:

 

E{Λ{

 

 

(31)

p = Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Var{Λa

 

E{Λ{ = E{β 1 b + 1 λ x + y} = β 1 b

(32)

Var{Λ}= E{ 1 λ x+ y 2 }= E{ 1 λ 2 x2 + 2 1 λ xy + y2 }= 1 λ 2 E{x2 }+ E{y2 }

(33)

E{x 2 } =

 

σc2

 

(34)

 

α 2 N

 

 

 

 

 

 

E{y

2

} =

 

σε2

 

(35)

 

2

N

 

 

 

 

α

 

Подставляя (34),(35) в (33), получим:

 

VarΛ =

1 λ 2 σc2 + σε2

(36)

 

 

 

α2 N

4

 

 

 

 

 

 

Подставляя (30) в (32), (32), (36) в (31)

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

2

 

2

 

 

 

λσc

 

 

P = Q

1 λ

2 σ 2

+ σ 2

 

(37)

 

 

 

c

ε

 

 

Частный случай λ=0 (обычная ЦВЗ-ШПС)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

Nη

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = Q

σ 2

+ σ 2

 

 

= Q

η η

+ η

η

 

 

Q

η

(38)

 

 

c

ε

 

 

 

a ω

ω

a

 

ω

 

Что совпадает с (9) (см лекцию 9)

Для получения минимума P в (37) параметр λ должен быть оптимизирован.

Легко проверить, что когда σc2 / σε2 и N велико, то λopt ≈1 Тогда получаем из (37)

P = Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nα

2

2

 

 

 

 

σc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

2

 

 

= Q

α

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N η

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

σ

2

 

 

= Q

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ηa N ηω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ηω ηa

 

 

 

(39)

 

 

 

 

5

Сравнение ЦВЗ-ШПС и ЦВЗ-УШПС

Преобразуем (39)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N η

ω

 

(40)

P = Q

 

 

 

 

 

 

 

 

η 1

 

 

 

 

 

 

 

где η = ηω ηa

Сравним (40) с вероятностью ошибки для информированного декодера

(см. 11 в лекции):

 

N

 

(41)

P = Q

 

 

 

 

 

 

 

η 1

 

 

 

 

 

Видно, что при N>>ηω получаем (приближенное равенство) Р для ШПС с информированным декодером и УШПС со «слепым» декодером

Пример:

 

 

 

 

 

σc = 50, α = 5, σε = 5, N = 1000

 

 

 

 

 

σ

2

 

 

 

 

σ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда:

η =

 

= 100,

η =

 

 

c

 

= 50 P = Q

 

 

 

= Q

10 3 10 3

 

2

 

2

 

2

 

 

ω

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

α

 

+ σ

ε

 

ηω

 

 

 

Для УШПС можно получить туже вероятность ошибки, но при уменьшении N до 110, что эквивалентно увеличению скорости

вложения в 9 раз.

6

 

6. Построение системы ЦВЗ на принципах, отличных от тех, которые используются в телекоммуникационных системах.

(Квантованная проективная модуляция - КПМ)

Обычная (квантованная индексная модуляция - КИМ)

Погружение:

Q

C n ,если b = 0

 

 

 

Cw n =

0

C n , если b = 1

 

Q

1

 

где Qi ... квантователь iготипа

Декодер:

~

b = argminb C'w n Qb C' n

где || …|| - норма в евклидовом пространстве

Пример (скалярный квантователь):

(вставить рис)

(42)

(43)

7

Если

C'w

n = Cw

 

(нет искажений ЦВЗ), то информация извлекается без

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ошибок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если помехой является ε n N 0,σε2 , то:

 

t 2

 

 

 

 

 

4n+1

 

4n+3

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P =

Q

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

,Q x

=

 

 

 

e 2 dt

(44)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=

 

 

α σ 2

 

 

 

α σ 2

 

 

 

 

 

2π

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Атака переквантованием:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C'w n =

 

 

Cw n ,с вероятностью 0,5

p=0,5 (ЦВЗ удалено полностью)

(45)

 

 

 

n ± Δ, с вероятностью 0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Диттер КИМ (ДМ)

n = Q C n + d

bn d bn ,n

 

Погружение:

Cw

(46)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q(…)-квантователь с шагом « »

 

где d(0,n) – i.i.d., равномерно распределено на интервале [- /2,+

/2]

 

d 0, n +

 

 

 

 

если d 0, n < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

(47)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 1, n =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 0, n

 

 

если d 0, n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Декодер:

~

C'w n Q C'w n + d b,n + d b,n

(48)

b = argminb

Графическая иллюстрация для равномерного скалярного квантователя:

d(0)

/2

d(0)

 

 

d(0)

 

d(1)

d(1)

C(n)

 

 

C(n)+D(1)

 

Q(C(n)+D(0))

Q(C(n)+D(1)) C(n)+D(0) Cw(b=1,n)

Основные свойства DM

1.если C'w n = Cw n ,то p = 0

2.если C'w n = Cw n + ε n ,то p = см. (44)

3. если C'w

n = Cw

n + ε

n , где ε n < то p = 0

 

 

~

~

 

 

4 4. Ошибки квантования не зависят от C n ,

что улучшаетcуубьективое качество восприятия

9

Векторная КИМ.

Видно, что скалярная КИМ фактически совпадает с системой НЗБ и имеет все его недостатки.

При векторной КИМ предварительно выбирается кодовая книга (из двух «томов» для вложения одного бита):

Cio n , n =1,2...N,Ci1 n , n =1,2...N,i =1,2,...L

Погружение:

C~

n ,если b = 0

 

 

 

 

 

 

i o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cw n = C~

n , если b = 1

(49)

 

i b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где C~ n

= argmin

 

n C

n

 

 

 

 

 

C

 

 

i b

 

 

 

i

 

w

 

 

ib

 

 

 

 

 

Декодер:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

C'w n Cib n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b = argminb mini

 

 

 

(59)

10

Соседние файлы в папке Лекции
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности