Зайцева / 4 раздел

4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Комплексные передаточные функции электрических цепей. Частотные характеристики. Резонанс в колебательных контурах. Частотные характеристики последовательного и параллельного колебательных контуров. Метод узкополосного приближения.

4.1. Комплексные передаточные функции электрических цепей. Частотные характеристики

Передача электрических сигналов в системах связи описывается с помощью передаточных функций цепи. Одной из важнейших среди них является комплексная передаточная функция. Комплексной передаточной функцией H(jω) называется отношение комплексных амплитуд реакции и воздействия в четырехполюснике (рис. 4.1), т.е. отношение комплексных амплитуд напряжения или тока на выходе цепи к комплексным амплитудам напряжения или тока на входе цепи.

Рис. 4.1. Схема четырехполюсника

Для четырехполюсника возможны четыре равноправных варианта

|( ω)|, а разность фаз реакции и воздействия – аргументы комплексных передаточных функций – (ω). Являясь функциями от частоты вследствие частотной зависимости реактивных сопротивлений цепи, они позволяют

найти математические выражения для частотных характеристик цепи – амплитудно-частотной и фазо-частотной.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется частотная зависимость отношения амплитуд реакции и воздействия. Фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) называется частотная зависимость разности фаз реакции и воздействия.

Таким образом, комплексную передаточную функцию можно представить в виде:

( ) = | ( )| ∙ ϴ( ),

где модуль | ( )| дает математическое выражение для АЧХ, а аргумент arg ( ) = ϴ( ) - математическое выражение для ФЧХ.

Если известна АЧХ цепи, то можно найти амплитуду реакции как произведение амплитуды воздействия на значение АЧХ на заданной частоте. Начальная фаза реакции определяется как сумма начальной фазы воздействия и значения ФЧХ на заданной частоте.

Избирательные свойства цепей определяются полосой пропускания. У цепей, содержащих один реактивный элемент L или С (цепей первого

порядка) АЧХ изменяется монотонно и достигает максимального значения при ω = 0 или ω → ∞.

Полоса пропускания таких цепей – это диапазон частот, в пределах

которого АЧХ цепи уменьшается в √2 раз по сравнению с ее максимальным значением. Частоту, при которой амплитудно-частотная характеристика

принимает значение в √2 раза меньше максимального, называют граничной частотой полосы пропускания ωгр. На этой частоте мощность колебания уменьшается в 2 раз по сравнению с ее максимальным значением. На граничной частоте фазо-частотная характеристика пассивной цепи равна

и ФЧХ. Построить графики АЧХ и ФЧХ. Параметры цепи: R = 100 Ом,

C = 5 нФ = 5∙10–9 Ф.

а) б)

Рис. 4.2. Схемы электрических цепей для нахождения частотных характеристик

Решение

Переходим к схеме замещения цепи для комплексных действующих значений токов и напряжений (рис. 4.2, б):

На рис. 4.3 приведены графики АЧХ и ФЧХ, рассчитанные по полученным формулам.

По графику АЧХ видно, что цепь пропускает нижние частоты в диапазоне от ω = 0 до ω = ωгр.

Рис. 4.3. Графики АЧХ (а) и ФЧХ (б)

̇

2. Найдем 2( ) = 2.

1̇

приведенным выше формулам.

По графику АЧХ видно, что цепь пропускает верхние частоты в диапазоне от ω = ωгр до ω → ∞.

а) б)

Рис. 4.4. Графики АЧХ (а) и ФЧХ (б)

Пример 4.1.2

Для цепи, показанной на рис. 4.5, найти выражения для комплексной передаточной функции

̇

H1(jω) = 2 и соответствующих

̇1

АЧХ и ФЧХ. Построить графики АЧХ и ФЧХ. Параметры цепи:

R1 = R2 = R3 = R4 = R.

Рис. 4.5. Схема ARC-цепи

Составим схему замещения цепи (рис. 4.5), заменив усилитель с конечным усилением источником напряжения управляемым напряжением (ИНУН) в соответствии с табл. 1.1. Получившаяся схема замещения приведена на рис. 4.6, а. Переходим к схеме замещения цепи для комплексных действующих значений токов и напряжений (рис. 4.6, б):

Рис. 4.6. Схемы замещения:

а) с заменой операционного усилителя на ИНУН б) комплексная

Запишем систему уравнений для комплексных узловых напряжений:

подставим получившееся выражение в третье уравнение. Из этого

ФЧХ: θ(ω) = π − arctg ω (1+ )

4+

На рис. 4.7 показаны графики АЧХ и ФЧХ, рассчитанные по приведенным выше формулам.

Рис. 4.7. Графики АЧХ (а) и ФЧХ (б)

По графику АЧХ видно, что цепь пропускает нижние частоты в

диапазоне от ω = 0 до ω = ωгр.

Найдем граничную частоту полосы пропускания:

4.2. Резонанс в колебательных контурах. Частотные характеристики последовательного и параллельного колебательных контуров

Колебательные резонансные контуры широко применяются для усиления и селекции сигналов в устройствах связи, в частности, в электрических фильтрах. Частотно-избирательное усиление в контурах наблюдается в режиме резонанса.

Явление значительного возрастания амплитуды гармонической реакции по мере приближения частоты внешнего гармонического воздействия к частоте собственных незатухающих колебаний контура ω0 называется явлением резонанса. При резонансе в цепи, содержащей реактивные элементы L и C, ток совпадает по фазе с напряжением на

контура.

В последовательном колебательном контуре возникает резонанс напряжений, при котором гармонические напряжения на индуктивности и емкости на резонансной частоте компенсируют друг друга.

Векторная диаграмма на рис. 4.9, б построена для частоты ω > ω0, при которой ω > ω1 , входное напряжение опережает по фазе ток в контуре

(φ > 0), а сопротивление контура RL-контура имеет индуктивный характер.

Векторная диаграмма на рис. 4.9, в построена для частоты ω < ω0, при которой ω < ω1 , входное напряжение отстает по фазе от тока в контуре

(φ < 0), а сопротивление контура RL-контура имеет емкостной характер. На резонансной частоте сопротивление каждого реактивного элемента равны друг другу по абсолютной величине и называются

характеристическим (волновым) сопротивлением контура ρ:

Амплитуды колебаний напряжений на зажимах реактивных элементов могут значительно превышать амплитуду напряжения на входе цепи. Отношение этих амплитуд называется добротностью контура:

В параллельном колебательном контуре возникает резонанс токов, при котором токи через индуктивность и емкость на резонансной частоте компенсируют друг друга.

Отношение амплитуд токов в реактивных элементах контура и тока источника характеризует добротность контура:

Значения добротности Q последовательных и параллельных колебательных контуров могут доходить до нескольких сотен единиц.

При анализе последовательного и параллельного контуров целесообразно использовать принцип дуальности, согласно которому в формулах исходные величины можно заменить дуальными (табл. 4.1).

Канонические схемы последовательного и параллельного колебательных контуров, основные величины, характеризующие резонансные явления в них, а также векторные диаграммы приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Схемы последовательного и параллельного колебательных контуров, основные величины, векторные диаграммы