Зайцева / 3 раздел

3.АНАЛИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

ВЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Гармонические напряжения и токи в электрических цепях. Мгновенная и средняя мощности гармонических колебаний. Гармонические колебания в элементах электрических цепей. Гармонические колебания в последовательном колебательном контуре. Символическое изображение косинусоидальных функций комплексными числами. Законы Кирхгофа в комплексной форме. Закон Ома в комплексной форме. Комплексные сопротивления и проводимости. Символический метод анализа гармонических колебаний. Применение символического метода для расчёта мощности. Уравнение баланса средней мощности. Условие получения в нагрузке генератора гармонических колебаний максимальной средней мощности. Система узловых уравнений для комплексных амплитуд колебаний. Цепи со взаимными индуктивностями. Особенности составления уравнений для цепей с магнитными связями. Трансформатор с воздушным сердечником. Уравнение трансформатора. Т- образная схема замещения трансформатора.

3.1. Гармонические напряжения и токи в электрических цепях

Гармоническое колебание ( ), мгновенное значение которого может быть описано одной из функций

( ) = ∙ cos(ω + ѱ); ( ) = ∙ sin(ωt + ƺ),

если ƺ = ѱ + π2.

Обе записи равноправны, однако мы будем пользоваться первой. График колебания ( ) показан на рис. 3.1.

Рис. 3.1. График гармонического колебания

Наибольшее по абсолютному значению отклонение колеблющейся величины называется её амплитудой и обозначается . Наименьшее значение времени, после которого процесс полностью повторяется (время одного цикла колебания), называется периодом колебания Т (рис. 3.1). Число циклов колебания в единицу времени называется циклической частотой колебания или просто частотой. Частота измеряется в герцах (Гц). Герц – одно колебание в секунду. Число циклов колебания в интервале, равном 2π единицам времени, называется угловой частотой , ω = 2π =

2π.

Величина (ω + ѱ) называется фазой колебания. Значение фазы колебания в момент времени = 0 называется начальной фазой колебания ѱ, которая может быть как положительной, так и отрицательной вещественной величиной. Она измеряется относительно начала отсчета времени.

При сравнении гармонических колебаний равных частот в одной и той же цепи

1( ) = 1 ∙ cos(ω + ѱ1) и 2( ) = 2 ∙ cos( + ѱ2)

отдельно сопоставляются амплитуды и фазы колебаний. При сопоставлении

амплитуд колебаний используется их отношение 1, а при сопоставлении

2

фаз – их разность φ = ѱ1 − ѱ2.

Разность фаз или сдвиг фаз φ не зависит от начала отсчета времени и может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Для наглядного суждения о соотношении между амплитудами и начальными фазами гармонических колебаний равных частот в одной и той же цепи используется векторная диаграмма. На ней в полярной системе координат каждому гармоническому колебанию соответствует радиусвектор, длина которого в выбранном масштабе пропорциональна амплитуде колебания, а полярный угол равен начальной фазе колебания. Принято положительные значения углов отсчитывать против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке.

На рис. 3.2 приведены графики гармонических колебаний 1( ) и 2( )

ивекторная диаграмма для случая, если φ = ѱ1 − ѱ2 > 0, что означает, что колебание 2( ) отстает от колебания 1( ) по фазе на угол φ.

На рис. 3.3 приведены графики гармонических колебаний 1( ) и 2( )

ивекторная диаграмма для случая, если φ = ѱ1 − ѱ2 < 0, что означает, что

Рис. 3.2. Графики гармонических колебаний 1( ) и 2( ) и векторная диаграмма при φ = ѱ1 − ѱ2 > 0

Рис. 3.3. Графики гармонических колебаний 1( ) и 2( ) и векторная диаграмма при φ = ѱ1 − ѱ2 < 0

3.2. Мгновенная и средняя мощности гармонических колебаний

Мгновенные значения напряжения и тока на входе линейного двухполюсника (рис. 3.4), находящегося в режиме гармонических колебаний, имеют вид:

( ) = ∙ cos(ω + ѱ );

( ) = ∙ cos(ω + ѱ ).

Рис. 3.4. Линейный двухполюсник

При согласном выборе положительных направлений напряжения и тока на входе двухполюсника мгновенная мощность, потребляемая двухполюсником, равна

Очевидно, что в режиме гармонических колебаний мгновенная мощность, потребляемая двухполюсником, содержит постоянную составляющую, относительно которой она колеблется с частотой 2ω.

В пассивных RL-цепях значения мгновенной мощности в одной части полупериода колебания положительны (цепь потребляет энергию), а в другой его части – отрицательны (цепь отдает энергию, запасенную в магнитном и (или) электрическом полях элементов индуктивности и емкости).

Для периодических колебаний широко используется понятие средней мощности

В случае рассматриваемого режима гармонических колебаний это постоянная составляющая в последнем выражении, т.е.

где φ = ѱ − ѱ .

В электрических цепях широко применяются среднеквадратические значения напряжений и токов, которые называют действующими (эффективными):

тогда выражение для средней мощности имеет вид:

= ср = ∙ ∙ cosφ.

Для пассивных двухполюсников средняя мощность не может принимать отрицательные значения, т.е. ≥ 0, поэтому разность фаз между гармоническими напряжением и током на зажимах пассивного двухполюсника не может выходить за пределы

Напряжение будет изменяться по закону:

напряжения и тока показывает, что колебания напряжения опережают по

реактивном элементе не рассеивается и происходит обмен энергией между индуктивностью и внешней по отношению к ней целью.

Векторная диаграмма и временные диаграммы мгновенных значений напряжения, тока и мощности в индуктивности приведены на рис. 3.6.

Подставив выражения, полученные в разделе 3.3, получим:

проходящего через них тока.

Следует иметь в виду, что векторная диаграмма и найденные с ее помощью численные решения будут верны только для одной частоты гармонических колебаний.

Очевидно, что треугольники напряжений в RLC-контуре могут быть двух видов: если > , то цепь носит индуктивный характер (приложенное напряжение опережает ток по фазе) (рис. 3.10, а), а если< , то цепь носит емкостной характер (приложенное напряжение отстает от тока по фазе) (рис. 3.10, б).

а) б)

Рис. 3.10. Векторные диаграммы напряжений в RLC-контуре: а) цепь носит индуктивный характер

б) цепь носит емкостной характер

По треугольнику напряжений находим амплитуду напряжения, приложенного ко всей цепи:

Пользуясь этим выражением, перейдем от треугольника напряжений к треугольнику сопротивлений, вид которого для индуктивного характера цепи показан на рис. 3.11, а, а для емкостного характера цепи – на рис. 3.11, б.