Зайцева / 2 раздел

Рис. 2.17. Схемы, иллюстрирующие доказательство дуальной формулировки теоремы замещения

Введем параллельно с этой ветвью два источника тока с задающими токами 1 = 2 = и включим их так, как показано на рис. 2.17, б. При этом все напряжения и токи сохраняют свои прежние значения, поскольку задающие токи источников тока компенсируют друг друга (сумма токов 1 и 2 равна нулю, что эквивалентно разрыву цепи). Но компенсируют друг друга также ток на зажимах выделенной ветви и задающий ток источника2, т. е. 2 + = 0. Следовательно, эти два элемента не влияют на токи и напряжения в цепи, и их можно исключить из цепи. Но тогда в цепи вместо выделенной ветви оказывается включенным источник тока (рис. 2.17, в), что и доказывает теорему.

Вкачестве примера применения теоремы на рис. 2.18 приведены схема заданной цепи и схемы трех эквивалентных цепей.

Всхемах в соответствии с теоремой замещения напряжения и токи в одноименных ветвях имеют одинаковые значения. Необходимо обратить внимание на то, что теорема применима как к линейным, так и к нелинейным электрическим цепям. Так как при ее доказательстве на выделенную ветвь не накладывается никаких ограничений, кроме того, что она обменивается энергией с остальной частью цепи (рис. 2.16, а) и (рис. 2.17, а) только через зажимы 1-0 с помощью тока.

Рис. 2.18. Схемы заданной цепи и трех эквивалентных цепей

Теорема взаимности

Если источник напряжения, включенный в некоторую ветвь линейной электрической цепи, составленной из пассивных двухполюсников, вызывает в другой ветви этой цепи некоторый ток, то тот же источник напряжения, будучи перенесенным в эту вторую ветвь, вызовет в первой ветви прежний ток. Графическая иллюстрация теоремы приведена на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Графическая иллюстрация теоремы взаимности

Дуальная формулировка этой теоремы такова: если источник тока, подключенный к некоторой первой паре узлов линейной электрической цепи, составленной из пассивных двухполюсников, вызывает между второй парой узлов этой цепи некоторое напряжение, то этот же источник, будучи

подключенным к этой второй паре узлов, вызывает на зажимах первой пары узлов прежнее напряжение (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Графическая иллюстрация дуальной формулировки теоремы взаимности

Цепи, которые удовлетворяют теореме взаимности, называются взаимными или обратимыми. Данная теорема верна для линейных цепей, не содержащих зависимых источников.

Теорема об эквивалентном генераторе

Ток в любой ветви линейной электрической цепи (ЛЭЦ) (рис. 2.21, а) не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным генератором:

-генератором напряжения в виде последовательного соединения источника напряжения эг и внутреннего сопротивления эг (рис. 2.21, б);

-генератором тока в виде параллельного соединения источника тока эг

ивнутреннего сопротивления эг (рис. 2.21, в).

Рис. 2.21. Схемы: а) электрической цепи с выделенной ветвью; б) эквивалентного генератора напряжения; в) эквивалентного генератора тока

Эквивалентный генератор – это активный линейный двухполюсник, параметры которого определяются так:

Uэг – задающее напряжение генератора равно напряжению холостого хода (Uхх) на разомкнутых зажимах (а, в) активного двухполюсника

(рис. 2.22, а);

iэг – задающий ток генератора равен току короткого замыкания (iкз), проходящего через замкнутые накоротко зажимы (а, в) активного двухполюсника (рис. 2.22, б);

Rэг – внутреннее сопротивление генератора равно эквивалентному входному сопротивлению, рассчитанному относительно разомкнутых зажимов (а, в) пассивного двухполюсника (ПД), который получен из активного путем замены всех источников напряжения их внутренними сопротивлениями (R0 = 0), а всех источников тока – (R0 = ∞) (рис. 2.22, в).

а) б) в)

Рис. 2.22. Схемы: а) для нахождения задающего напряжения эквивалентного генератора; б) для нахождения задающего тока эквивалентного генератора; в) для нахождения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Для доказательства используем теорему замещения и метод наложения. Пусть в цепи с несколькими источниками надо определить ток в одной ветви (рис. 2.23, а), которую по теореме замещения можно заменить источником напряжения , задающее напряжение которого равно напряжению ветви до замены = ∙ (рис. 2.23, б).

а) б)

Рис. 2.23. Схемы, поясняющие доказательство теоремы об эквивалентном генераторе

Найдем искомый ток по методу наложения, как сумму двух частичных токов (рис. 2.24):

= ′ − ′′.

вызываемый внешней ЛЭЦ, при отключенном источнике напряжения (вместо него показано короткое замыкание).

Частичный ток ′′ (рис. 2.24, б) – это ток, создаваемый источником напряжения при отключенных входящих во внешнюю ЛЭЦ источниках тока и напряжения (все источники заменены их внутренними сопротивлениями 0 = 0, 0 = ∞). В результате отключения источников ЛЭЦ представляет собой пассивный двухполюсник (ПД), входное сопротивление которого относительно зажимов а и в, равно 0. Частичный

об эквивалентном генераторе тока (теоремой Нортона).

Выражение (2.5.1) справедливо для любых режимов работы цепи, и, в частности, для режима холостого хода, когда выводы рассматриваемой цепи (рис. 2.23, а) разорваны. Тогда = 0, = хх. Выражение (2.5.1) приобретает следующий вид:

0 = эг, а = ∙ , то ∙ = эг − ∙ эг. Окончательное выражение для тока имеет следующий вид:

эквивалентном генераторе напряжения (теоремой Тевенина).

2.7. Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора основан на теореме об эквивалентном генераторе и применяется для анализа электрических цепей, в которых требуется найти ток в одной пассивной ветви (нагрузке). Тогда цепь, внешняя по отношению к нагрузке, рассматривается как эквивалентный генератор напряжения (рис. 2.21, б) или как эквивалентный генератор тока (рис. 2.21,

в).

После определения параметров эквивалентного генератора рассчитывается ток в нагрузке по закону Ома:

При расчете тока ветви методом эквивалентного генератора рекомендуется следующая последовательность действий:

-нарисуйте схему эквивалентного генератора напряжения (рис. 2.21, б), заменив R сопротивлением в указанной ветви;

-рассчитайте по второму закону Кирхгофа напряжение Uэг = Uxx, исключив резистивное сопротивление в указанной ветви и выбрав

положительное направление Uxx, совпадающее с направлением искомого тока;

-рассчитайте сопротивление Rэг относительно разомкнутых зажимов ветви, заменив в оставшейся цепи все источники их внутренними сопротивлениями;

-рассчитайте искомый ток в ветви по закону Ома (рис. 2.21, б).

Пример 2.7.1

Определим ток ветви i4 (рис. 2.25), используя метод эквивалентного генератора.

Рис. 2.25. Схема электрической цепи

Заменим внешнюю по отношению к нагрузке R4 цепь эквивалентным генератором напряжения (рис. 2.26):

Тогда ток 4 может быть найден по закону Ома:

эг4 = эг + 4.

Рис. 2.26. Схема эквивалентного генератора с нагрузкой R4

Найдем эг – задающее напряжение эквивалентного генератора. Для этого нарисуем схему, разорвав ветвь с 4, так как эг = хх (рис. 2.27):

Найдем эг – внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, для этого перерисуем схему для определения эг, удалив из нее источники тока и напряжения (источники тока заменим разрывом, а источники напряжения – коротким замыканием (проводом)) (рис. 2.28).

Контрольные вопросы

1.Какое соединение элементов называется последовательном (параллельным)?

2.Сформулируйте принцип наложения (суперпозиции). Какие цепи подчиняются этому принципу?

3.Какой порядок расчета линейных электрических цепей методом наложения?

4.Относительно каких неизвестных составляются уравнения токов ветвей? Чему равно общее число этих уравнений?

5.Сколько линейно-независимых уравнений можно составить по первому и второму закону Кирхгофа?

6.Каков порядок анализа цепи методом токов ветвей?

7.Как проверяется правильность расчета цепи с помощью баланса мощностей?

8.Относительно каких переменных составляются уравнения при решении задачи методом узловых напряжений?

9.Как записывается каноническая система узловых уравнений?

10.Сколько независимых уравнений можно составить для цепи по методу узловых напряжений?

11.Что представляют собой коэффициенты и свободные члены системы узловых уравнений?

12.Как рассчитывается собственная проводимость k-го узла? Как рассчитывается взаимная проводимость Gkl между k-м и l-м узлами?

13.Как составляются правые части в системе узловых уравнений? 14.Как найти токи в элементах цепи, если известны узловые напряжения? 15.Относительно каких неизвестных составляется уравнения контурных

токов? Что понимают под контурным током k-го контура? 16.Запишите уравнения контурных токов в канонической форме. 17.Как рассчитывается собственное сопротивление k-го контура Rkk? Как

рассчитывается взаимное сопротивление Rkl общей ветви для k-го и l-го контуров и как определяется знак, с которым Rkl записывается в уравнение? Как составляются правые части уравнений контурных токов?

18.Как учитываются источники тока в уравнениях контурных токов?

19.В каких задачах целесообразно использовать метод эквивалентного генератора?

20.Как рассчитываются параметры эквивалентного генератора напряжения?

21.Как рассчитываются параметры эквивалентного генератора тока?