Зайцева / 2 раздел

2. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ РЕЗИСТИВНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Метод эквивалентных преобразований, метод наложения, метод узловых напряжений, метод контурных токов. Основные теоремы электрических цепей: замещения, взаимности, об эквивалентном генераторе. Метод эквивалентного генератора.

2.1. Метод эквивалентных преобразований

Метод эквивалентных преобразований используется для расчета напряжений и токов ветвей электрических цепей с одним источником напряжения u0 или источником тока i0 с применением закона Ома и законов Кирхгофа.

Анализ последовательно-параллельных цепей с одним источником рекомендуется выполнять путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи в простую цепь, состоящую из источника и общего эквивалентного сопротивления цепи рис. 2.1, а и б.

а)

б)

Рис. 2.1. Эквивалентные преобразования заданной цепи в эквивалентную цепь: а) с источником напряжения;

б) с источником тока

Пример 2.1.1

Рассчитаем токи во всех ветвях цепи, если

R1 = 18 Ом; R2 = 60 Ом, R3 = 40 Ом, U0 = 120 В.

Упрощаем схему, преобразовав параллельно соединенные сопротивления R2 и R3 в эквивалентное сопротивление R23:

2∙ 3 60∙4023 = 2+ 3 = 60+40 = 24 Ом.

определения тока в одной из параллельных ветвей: ток в общей ветви нужно умножить на сопротивление второй ветви и разделить на сумму

При этом не требуется определять напряжение .

3.Нахождение истинных токов в ветвях цепи: истинные токи определяются как алгебраическая сумма частичных токов, т.е. сравниваются направление частичных токов с направлением истинного тока в исходной цепи.

Для ветви 1: Для ветви 2: Для ветви 3: Для ветви 4: Для ветви 01:

переменными системы уравнений анализируемой цепи являются токи в ветвях цепи, называется методом токов ветвей. Метод основан на применении законов Кирхгофа.

Для определения неизвестных токов во всех ветвях заданной цепи методом токов ветвей (методом уравнений Кирхгофа) рекомендуется

= в − у + 1 − ист.т.;

-сделайте проверку = + = в − ист.т., где в – число ветвей,у – число узлов, ист.т.- число источников тока в схеме цепи;

-покажите произвольно положительные направления токов в ветвях и составьте уравнения по первому закону Кирхгофа;

-покажите произвольно положительные направления обхода выбранных контуров и составьте уравнения по второму закону Кирхгофа. Напряжения на резистивных элементах выразите через токи по закону Ома, из получившейся системы уравнений найдите значения неизвестных токов ветвей;

-сделайте проверку правильности расчета цепи с помощью баланса мощностей.

Пример 2.3.1

Рассмотрим цепь, содержащую источники напряжения и резистивные сопротивления (рис. 2.5):

Рис. 2.5. Схема электрической цепи

1. Определим число независимых уравнений:

по первому закону Кирхгофа = у − 1 = 4 − 1 = 3; по второму закону Кирхгофа = в − у + 1 − ист.т. = 6 − 4 + 1 − 0 = 3; всего уравнений:

= + = в − ист.т. = 6 − 0 = 6.

В схеме рис. 2.5 нужно определить шесть токов ветвей, для чего надо составить шесть уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для выбранных произвольно положительных токов в ветвях.

Уравнения по первому закону Кирхгофа имеют вид:

Для 1 узла −1 + 2 − 3 = 0; Для 2 узла 3 + 4 + 5 = 0; Для 3 узла −2 − 5 + 6 = 0.

2. Выберем в схеме три независимых контура и произвольно покажем направления обхода этих контуров.

Независимым называется контур, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая ни в какой другой контур.

Уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:

Для I контура −02 + 2 2 − 5 5 + 05 + 3 3 − 03 = 0; Для II контура −01 + 1 1 + 03 − 3 3 + 4 4 − 04 = 0; Для III контура −06 + 04 − 4 4 − 05 + 5 5 + 6 6 = 0.

3. После анализа любой цепи нужно сделать проверку правильности расчетов. Для этого составляется уравнение баланса мощности, согласно которому алгебраическая сумма мощностей в цепи, вносимых источниками ( отд.), равна сумме мощностей, потребляемых цепью ( потр.).

отд. = потр..

отд. = ∑ 0 ∙ + ∑ 0 ∙ ,

=1 =1

где n – число источников напряжения;

- число источников тока.

потр. = ∑ 2 ∙ ,

=1

где m – число резистивных сопротивлений.

Для цепи рис. 2.5 потребляемая мощность рассчитывается по формуле:

потр. = 12 ∙ 1 + 22 ∙ 2 + 32 ∙ 3+ 42 ∙ 4 + 52 ∙ 5 + 62 ∙ 6;

отдаваемая мощность по формуле:

отд. = 01 ∙ 1 + 02 ∙ 2 + 03 ∙ 3 + 04 ∙ 4 + 05 ∙ 5 + 06 ∙ 6.

Пример 2.3.2

Рассмотрим цепь, содержащую источники напряжения, источники тока и резистивные сопротивления (рис. 2.6):

Рис. 2.6. Схема электрической цепи

1. Определим число независимых уравнений:

по первому закону Кирхгофа = у − 1 = 4 − 1 = 3; по второму закону Кирхгофа = в − у + 1 − ист.т. = 7 − 4 + 1 − 2 = 2; всего уравнений:

= + = в − ист.т. = 7 − 2 = 5.

Число уравнений уменьшилось, так как во второй и пятой ветвях есть источники тока, а, следовательно, токи в этих ветвях известны.

Уравнения по первому закону Кирхгофа имеют вид:

Для 1 узла −1 + 02 + 3 = 0; Для 2 узла −02 + 4 + 6 = 0;

Для 3 узла −3 − 05 − 4 − 6 − 7 = 0.

2. Контуры в таких цепях (рис. 2.6) выбираются таким образом, чтобы ветви с источниками тока не входили ни в один контур. Уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:

Для I контура 6 6 − 06 − 4 4 = 0;

Для II контура 3 3 − 7 7 + 07 + 1 1 − 01 = 0.

3. Для цепи рис. 2.6 потребляемая мощность рассчитывается по формуле:

потр. = 12 ∙ 1 + 32 ∙ 3+ 42 ∙ 4 + 62 ∙ 6 + 72 ∙ 7;

отдаваемая мощность по формуле:

отд. = 01 ∙ 1 + 02 ∙ 2 + 06 ∙ 6 + 07 ∙ 7 + 05 ∙ 5,

где 2 – напряжение на зажимах источника тока 02, а 5 – напряжение на зажимах источника тока 05, которые определяются по второму закону Кирхгофа:

2 = 4 4 − 3 3;5 = 07 − 7 7.

2.4.Метод узловых напряжений

Вданном методе переменными или неизвестными системы уравнений анализируемой цепи являются узловые напряжения 1у , 2у, 3у, … у,

т. е. напряжения, равные разности потенциалов k-го и базисного узла. Потенциал базисного узла принимается равным нулю ( 0у = 0).

Для резистивных цепей, содержащих только независимые источники тока, базисный узел выбирается произвольно.

В этом случае число узловых напряжений, а значит, и порядок канонической системы узловых уравнений, определяется по формуле:

N N у 1 .

Метод узловых напряжений основан на первом законе Кирхгофа и законе Ома.

Применение метода узловых напряжений позволяет существенно уменьшить число решаемых уравнений по сравнению с методом токов ветвей.

Получим каноническую систему узловых уравнений для цепи, содержащей резистивные сопротивления и независимые источники тока на примере участка цепи, представленного на рис. 2.7.

Покажем произвольно положительные направления токов в ветвях и

Выразим неизвестные токи в ветвях по закону Ома через напряжения на резистивных сопротивлениях, которые в свою очередь могут быть найдены как разность между узловыми напряжениями, отсчитываемыми относительно базисного узла 0:

где проводимость = 1 .

Подставим выражения для токов (2.4.2) в уравнения по первому закону Кирхгофа (2.4.1):

−1 ∙ (1у−3у) − 2 ∙ (1у − 3у) + 03 + 3 ∙ (3у−2у) −

−04 + 4 ∙ 3у + 5 ∙ (3у−4у) = 0.

Раскроем скобки и запишем полученные уравнения в виде:

−(1 + 2) ∙ 1у − 3 ∙ 2у + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ∙ 3у−5 ∙ 4у =

= −03 + 04.

В левую часть этого уравнения входит слагаемых, пропорциональных узловым напряжениям 1у, 2у, 3у, 4у.

Коэффициент при напряжении узла 3, для которого составляется уравнение, представляет собой арифметическую сумму проводимостей ветвей, подключенных к этому узлу. Этот коэффициент взят со знаком «плюс».

Коэффициент при напряжении узла 1 представляет собой арифметическую сумму проводимостей ветвей, подключенных между узлами 1 и 3; коэффициент при напряжении узла 2 – арифметическая сумма проводимостей ветвей, подключенных между узлами 2 и 3; коэффициент при напряжении узла 4 – арифметическая сумма проводимостей ветвей, подключенных между узлами 4 и 3. Этот коэффициент взяты со знаком «минус».

В правую часть уравнения входит алгебраическая сумма задающих токов источников тока, подключенных к узлу 3: источник тока 04 ориентирован к узлу 3 и входит в алгебраическую сумму со знаком «плюс», а источник тока 03 ориентирован от узла 3 и входит в алгебраическую сумму со знаком «минус».

Аналогичным образом находятся уравнения для других узлов цепи. Таким образом, система уравнений N-го порядка, составленная по

методу узловых напряжений, имеет вид:

11 ∙ 1у − 12 ∙ 2у−13 ∙ 3у − − 1 ∙ у = 1у,

−21 ∙ 1у + 22 ∙ 2у−23 ∙ 3у − − 2 ∙ у = 2у,

{− 1 ∙ 1у − 2 ∙ 2у− 3 ∙ 3у − − + ∙ у = у.

где – собственная проводимость k-го узла, равная арифметической сумме проводимостей всех ветвей, подключенных одним из зажимов к k-му узлу цепи;

– взаимная проводимость k-го и m-го узлов цепи, равная сумме проводимостей ветвей, включенных между k-м и m-м узлами цепи;

у – задающий узловой ток k-го узла, равный алгебраической сумме задающих токов источников токов, подключенных одним из зажимов к k-му узлу цепи, при этом в сумму со знаком «+» входит задающий ток того источника, положительное направление которого ориентировано в сторону k-го узла, и со знаком «−» в противном случае.

Канонической форме записи узловых уравнений соответствует матричное равенство: