Пантелеева Ксения БСТ1904

Контрольные задания по дискретной математике

Часть 1

Вариант 15

Задание 1.

Формулировка задания:

а) Проверка по таблицы истинности

х	y	z
0	0	0	1	0	1	1	0	1
0	0	1	1	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	0	1	0	0	0	0	1
1	0	1	1	0	0	0	0	1
1	1	0	0	0	0	0	0	1
1	1	1	1	0	0	0	0	1

б) Метод алгебраических преобразований

Формулы эквивалентны

Воспользовались законом де Моргана, ассоциативностью и коммутативностью дизъюнкции, дистрибутивностью дизъюнкции относительно конъюнкции.

СДНФ и СКНФ построим с помощью таблицы истинности. Для наглядности при построении СДНФ используем двойственную функцию.

х	y	z			F*=	Элементарные конъюнкции	Элементарные дизъюнкции
0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	0	1
0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	0	1
1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	1	0
1	1	0	0	0	1
1	1	1	0	0	1

Изобразим результат на кругах Эйлера:

СДНФ:

СКНФ:

х	y	z	F	1	z	y	yz	x	xz	xy	xyz	Слагаемое
0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	1	0	1	0	0	0			y
0	1	1	0	1	1	1	0	0				yz
1	0	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	1	1
1	1	0	0	1	0							xy
1	1	1	0	1								xyz

Получаем многочлен Жегалкина:

Задание 2.

Формулировка задания:

а) Составим таблицу истинности:

Х1	Х2	Х3	Х4	f
0	0	0	0	0
0	0	0	1	0
0	0	1	0	1
0	0	1	1	0
0	1	0	0	0
0	1	0	1	1
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	0
1	0	0	1	1
1	0	1	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	1
1	1	0	1	0
1	1	1	0	1
1	1	1	1	0

б)

СДНФ:

Минимизируем методом Квайна.

Номер	Эл. Конъюнкция	Поглощение
1		+
2		-
3		+
4		+
5		+
6		+
7		+

Номера склеивания	Результат склеивания
1-3
3-7
4-5
6-7

В результате на данном шаге получаем простые импликанты:

Номер	Эл. Конъюнкция	Поглощение
1		-
2		-
3		-
4		-

В результате на данном шаге получаем простые импликанты: , , ,

МДНФ:

в)

г)

Логическая схема

X1

f

Х1 Х2 Х3 Х4

X2

1

X4

X3

&

&

&

&

&

Проверяем полученную функцию f₁ = ,

сравнивая ее с заданной таблицей истинности. Они совпадают.

Задание 3.

Формулировка задания:

Составляем таблицу истинности для каждой функции, стоящей в левой части каждого уравнения.

х	y	z
0	0	0	1	0	1
0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	0	0
0	1	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	0	1
1	1	1	0	1	0

Просматривая последовательно элементы каждой строки таблицы истинности в 4-м, 5-м и 6-м столбцах, ищем те строки, которые равны 1,1,0 (соответственно в столбцах 4, 5 и 6). Если такие строки имеются, то эти числа равны правым частям 1-го, 2-го и 3-го уравнения заданной системы. В данном случае такой строки не существует, поэтому система – несовместна.

Задание 4.

Формулировка задания:

Представим каждое высказывание в виде логических операций:

Тогда система уравнений будет выглядеть:

Решим систему методом последовательного исключения неизвестных. Уравнение 1) выполняется только тогда, когда в=0 и с=0, подставляя эти значения в остальные уравнения системы, получим систему из трех уравнений:

Из уравнения 2) находим d=1, из уравнения 4) находим а=1. Таким образом, (а,в,с,d)=(1,0,0,1), следовательно, в системе работают только объекты а и d.

Задание 5.

Формулировка задания:

Через каждые две точки можно провести прямую. Так как никакие три точки из данных не лежат на одной прямой, то одна точка будет соединена различными прямыми с остальными 8-1=7 точками (из каждой точки исходит 7 прямых, соединяющих ее с другими точками). Всего таких прямых будет 8*7/2=28.