На практике не менее популярна
и обратная задача
Её можно сформулировать следующим образом: Как определить, сколько нужно провести испытаний (n) , чтобы с заранее заданной вероятностью обеспечить
желаемую точность ?
Задача 81
Проводится некоторый опыт, в котором случайное событие A может появиться с вероятностью 0,4. Определить, сколько опытов нужно провести, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события A от p 0,4 не более чем на 0,05.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
Решение: используем ту же формулу |
P |
|
|
|
p |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
, но на этот раз |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
нам известны величины: p 0,4; |
q 1 p 0,6; |
0,05; |
0,9 |
|||
По условию, требуется найти такое количество опытов n , чтобы с вероятностью |
||||||
|
m |
|
|
|||
бОльшей чем 0,9 разница |
0,4 |
составила не более чем 0,05 . Ну, а коль скоро с |
||||
n |
||||||
|
|
|
|
|
||
вероятностью «бОльшей», то задачу следует разрулить через строгое неравенство:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
– подставляем известные значения и делим обе части на два: |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,05 |
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0,24 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По таблице значений функции (x) либо с помощью Калькулятора (Пункт 5*, этот способ будет точнее) по известному значению функции (x) 0,45 находим соответствующий аргумент: x 1,64 . Таким образом:
0,05
n 1,64
0,24
Возведём обе части в квадрат:
|
0,05 |
|
|
|
2 |
|
|
n |
(1,64)2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,24 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
0,00250,24 n 2,6896 , и финальный штрих: n 2,6896 0,00250,24 258,2
Ответ: для того, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9, можно было ожидать
отклонения |
m |
0,4 |
0,05 , нужно провести более 259 опытов. |
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
93 |
|||
|
|
|
|
|