МОЗИ_4-var4-10-13
.docxФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»
(СПбГУТ)
Факультет Инфокоммуникационных сетей и систем
Кафедра Защищённых систем связи
ОТЧЁТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №4
Расширенный алгоритм Евклида
Направление/специальность подготовки
10.03.01 Информационная безопасность
(код и наименование направления/специальности)
Выполнил:
%username%
(Ф.И.О., № группы) (подпись)
Выполнил:
%username%
(Ф.И.О., № группы) (подпись)
Выполнил:
%username%
(Ф.И.О., № группы) (подпись)
Проверил:
%username%.
(уч. степень, уч. звание,И.Ф) (подпись)
Теория «Расширенный алгоритм Евклида»
Кроме вычисления d=НОД(a,b), алгоритм Эвклида позволяет дополнительно определить два целых числа α и β, таких что:
α * a + β * b = d; (соотношение Безу)
α и β – коэффициенты Безу.
Замечание, «почти всегда» если α положительна, то β отрицательно и наоборот.
Эти два числа можно вычислять одновременно с выполнением шагов в алгоритме Эвклида по следующей схеме:
Ручной метод «прямой»:
Рассмотрим шаги получения НОД (24;15):
24 = 15 * 1 + 9
15 = 9 * 1 + 6
9 = 6 * 1 + 3
6 = 3 * 2 + 0
Добавим для каждого шага представление «текущего» остатка как линейной комбинации исходных чисел a и b:
9=24+(-1)*15
6=15-9=15-(24-15)=2*15+(-1)*24
3=9-6=24+(-1)*15-[2*15+(-1)*24]=2*24+(-3)*15; т.е. α=2; β=-3.
Алгоритм в общем виде: Найти: НОД(a,b) a =b *q1 + r1 и r1 = α * x1 + β * y1 b =r1 *q2 + r2 и r2 = α * x2 + β * y2 ………………………………
rn-3=rn-2 *qn-1 +rn-1 и rn-1= α * xn-1 + β * yn-1 //на этом шаге получаем α,β rn-2=rn-1 *qn rn=0 Ответ: НОД(a,b)=rn-1 //ответ – последний ненулевой остаток.
Представим это в виде таблицы:
остатки |
частные |
x |
y |
a |
* |
x(-1) |
y(-1) |
b |
* |
x0 |
y0 |
r1 |
q1 |
x1 |
y1 |
r2 |
q2 |
X2 |
y2 |
|
|
|
|
rn-2 |
qn-2 |
xn-2 |
yn-2 |
rn-1 |
qn-1 |
xn-1 |
yn-1 |
Заметим, что в начале этой таблицы появились две дополнительные строчки.
Они нам помогут вычислить x1 и y1 :
x(-1)=1, y(-1)=0, x0=0, y0=1;
xj=xj-2-qj*xj-1; yj=yj-2-qj*yj-1; //Пояснение соотношений – см. лекции.
остатки |
частные |
x |
y |
1234 |
* |
1 |
0 |
54 |
* |
0 |
1 |
46 |
22 |
1-22*0=1 |
0-22*1=-22 |
8 |
1 |
0-1*1=-1 |
1-1*(-22)=23 |
6 |
5 |
1-5*(-1)=6 |
-22-5*23=-137 |
2 |
1 |
-1-1*6=-7 |
23-1*(-137)=160 |
0 |
3 |
* |
* |
α = -7; β=160. Действительно: (-7)*1234+160*54=2.
Расширенный бинарный алгоритм Евклида* (факультативно).
Вход: Целые числа а, b; 0 < b ≤ а.
Выход: d = НОД(a, b); и такие целые числа х, у, что ах + by = d.
Алгоритм:
Положить g ← 1.
Пока оба числа а и b четные, выполнять а ← a/2, b ← b/2 , g ← 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b.
Положить u ← a, v ← b, А ← 1, В ← 0, С ← 0, D ← 1.
Пока u ≠ 0, выполнять следующие действия:
Пока u четное, положить u ← u/2. Если оба числа А и B четные, то положить A ← A/2, B ← B/2. В противном случае положить A ← (A+b)/2, B ← (B–a)/2
Пока v четное, положить v ← v/2.
Если оба числа С и D четные, то положить С ← C/2, D ← D/2. В противном случае положить C ← (C + b)/2, D ← (D – a)/2
При u ≥ v положить u ← u – v, А ← А – С, В ← В – D. В противном случае положить v ← v – u, C ← C–A, D ← D – B.
Если u=0, то
Положить d ← gv, x ← С, у ← D.
Результат: d, х, у.
Другой вариант описания расширенного бинарного алгоритма Евклида:
Вариант 10
|
|
|
1125851 |
1129913 |
24 ; 20
24 = 20*1 + 4
20 = 4 * 5 + 0
4 = 1*24 + (-1)*20
НОД = 4; Alpha = 1; beta = -1
Для 1125851 ; 1129913 выполняли на https://www.dcode.fr/bezout-identity
Вариант 13
|
|
|
1678583 |
1689179 |
Ручной метод «прямой»:
28 ; 22
28 = 22 * 1 + 6
22 = 6 * 3 + 4
6 = 4 * 1 + 2
4 = 2*2
6 = 28 – 22
4 = 22 – 6*3 = 22 – 3*(28 – 22) = 4*22 – 3*28
2 = 6 – 4 = 28 – 22 – 4*22 + 3*28 = -5*22 + 4*28
НОД = 2; Alpha = 4; beta = -5
Для 1678583 ; 1689179
Вариант 4
|
20 |
12 |
1509212 |
759518 |
Ручной метод «прямой»:
20 = 12 * 1 + 8
12 = 8 * 1 + 4
8 = 4*2 + 0
8 = 20 + (-1)*12 = 12+8 - 8+4
4 = 12 – (20 -12)= 2*12 +(– 1)*20
НОД = 4; Alpha = -1; beta = 2
Для 1509212 ; 759518
