Шумы линейных цифровых преобразователей

Если шум квантования накладывается на сигнал, обрабатываемый с помощью цифрового преобразователя (например, фильтра), арифметические операции в процессе цифрового преобразования выполняются без погрешностей, кроме квантования входного сигнала. Если модель ошибки квантования линейна, когда шаг квантования достаточно мал, то это позволяет пренебречь всеми нелинейностями и различные источники ошибок в линейных системах можно изучать отдельно. Влияние входного шума квантования на выходной сигнал фильтра y(k) можно определить путем вычисления реакции преобразователя-фильтра на входной шумовой сигнал Δx(k). Если h(k) – импульсная характеристика линейной системы, а последовательность погрешности преобразования Δx(k) является её входным сигналом, то выходной сигнал линейной системы будет

k

Δy(k) = ∑ h(n)Δx(k-n).

n=0

Дисперсия выходной величины Δy(k) имеет вид

k k k k

σ²₀(k) = E [ ∑ h(n) Δx(k-n) ∑ h(i)Δx(k-i)] = ∑ ∑ h(n)h(i)E[Δx(k-n)Δx(k-i)],

n=0 i=0 n=0 i=0

где E - оператор вычисления математического ожидания. Поскольку последовательность абсолютных значений погрешностей преобразования при квантовании Δx(k) предполагается белым шумом, то справедливо следующее выражение:

k k k

σ²₀(k) = ∑ ∑ h(n)h(i)δ(i-n)σ²_Δx = σ²_Δx ∑ h²(n).

n=0 i=0 n=0

В случае фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтра), если полюсы фильтра находятся в области устойчивости и предел импульсной характеристики равен нулю h(k)→0 при k стремящейся к бесконечности (k→∞), то дисперсию в установившемся режиме можно представить в виде

∞

σ²₀ = σ²_ΔX ∑ h²(n),

n=0

тогда как в случае фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтра) следует суммировать лишь первые ненулевые значения импульсной характеристики. Используя равенство Парсеваля, этот результат можно записать в виде

π

σ₀ = (σ²_ΔX / π) ∫ |H(jω)|²dω, где H(jω) - частотная характеристика линейной системы.

0