Параметры вероятностной модели методической погрешности квантования

Понятие ''шум квантования'' основано на вероятностной модели АЦП для учета разброса статических параметров. Математическое ожидание m_ΔX и дисперсия D_ΔX методической погрешности алгоритма квантования

0.5h

m_ΔX = ∫Δx×p(Δx)d(Δx);

-0.5h

0.5h

D_Δx = σ²_Δx = ∫Δx² p(Δx)d(Δx).

-0.5h

Для квантования с округлением

m_Δx = 0;

D_Δx = σ²_Δx = h²/12, где h = 2^-nH.

Мощность ''шума'' квантования P_Ш.КВ определяется дисперсией P_Ш.КВ = D_Δx, амплитудное значение ''шума'' квантования σ_Ш.КВ = √P_Ш.КВ = h/(2√3). На рис. 12 показана модель учета методической погрешности квантования как генератора "шума" квантования (методической погрешности), приведенного ко входу идеального АЦП без методической погрешности квантования (идеальный АЦП должен иметь бесконечное количества разрядов выходного кода).

Рис. 12. Модель учета методической погрешности квантования как генератор "шума" квантования, приведенный ко входу идеального АЦП, т.е. имеющего бесконечное количество разрядов кода

Аппаратурная погрешность квантования в ацп

При конкретной реализации АЦП кроме методической погрешности преобразования будут проявляться и аппаратурные погрешности преобразования, обусловленные не идеальностью элементной базы, на основе которой изготовлен АЦП. Аппаратурный “шум’ на самом деле является вероятностной характеристикой влияния разброса параметров элементов АЦП на статическую передаточную характеристику АЦП в целом. Аппаратурный “шум” характеризуется мощностью аппаратурной погрешности квантования входного сигнала АЦП, приведенной ко входу АЦП, - P_Ш.А. На рис. 13 приведена модель АЦП с учетом источника аппаратурного шума, приведенного ко входу АЦП и характеризуемого среднеквадратическим амплитудным значением аппаратурного ''шума'' σ_А. Аппаратурные погрешности носят в общем случае случайный (вероятностный) характер также и в том случае, если надо характеризовать не один АЦП, а группу АЦП одного типа при описании всей группы усредненными параметрами.

Рис. 13. Статическая аппаратурная погрешность (отклонения шага квантования) как аппаратурный "шум" квантования σ_А на входе идеального АЦП

Суммарный шум, приведенный ко входу АЦП, можно охарактеризовать суммой мощности шума квантования (методической составляющей) и мощности аппаратурного шума:

P_Ш.СУММ = P_Ш.КВ + P_Ш.А.

Представляет практический интерес оценка вклада в итоговый аппаратурный шум квантования (называемый часто как инструментальный шум квантования) отдельных узлов и элементов АЦП. Можно осуществлять суммирование шумов от отдельных источников шума, пересчитывая мощность их шумов к итоговой передаточной характеристике (характеристике квантования-преобразования), то есть приводя мощность шумов от отдельных источников ко входу АЦП.

Пусть реальная передаточная характеристика имеет детерминированные отклонения от идеальной. На рис. 14 дан пример такой характеристики, где сплошной линией показана реальная зависимость с дополнительными аппаратурными погрешностями квантования входного сигнала, а штриховой – передаточная характеристика без аппаратурных погрешностей, а только с методической погрешностью квантования.

(а)

(б) (в)

Рис. 14. Передаточные характеристики АЦП: (а) с методической погрешностью квантования (штриховые линии) и с дополнительными к методическим отклонениям шага квантования аппаратурными погрешностями погрешности (сплошные линии и точками) шага квантования Δx_А.ДОП; (б) зависимость методической погрешности квантования при изменении значения преобразуемого отсчета сигнала; (в) зависимость суммарной погрешности шага квантования, включая методическую и дополнительную аппаратурную погрешности

На рис. 14б приведена зависимость методической погрешности квантования (штриховые линии) при изменении значения преобразуемого отсчета сигнала x, а на рис. 14в – зависимость суммарной погрешности квантования при изменении значения преобразуемого отсчета сигнала x, которая включает методическую и аппаратурную погрешности квантования. Значения погрешностей на рис. 14б и рис. 14в нормированы на шаг квантования младшего разряда h. На примере на рис. 14в видно, что суммарная погрешность, включающая аппаратурную погрешность, превышает шаг квантования младшего разряда h, что требует оценки достоверности значений младшего разряда кода и оценки допустимых значений аппаратурной погрешности, превышение которых делает этот разряда недостоверным.

Пусть отклонения j-й реальной границы ступеньки, т.е. линии перехода на другой уровень, от идеальной равно Δx_ДОПj, общее количество ступеней квантования s = 2ⁿ-1, где n – разрядность выходного кода АЦП, а также выполняется соотношение для методической погрешности (т.е. мощности шума квантования) P_Ш.КВ = σ²_h = h²/12 и задана p_j(x) – вероятность попадания отсчета сигнала x на j-ю ступень квантования. В этом случае среднее значение мощности полного шума можно оценить по выражению

s

P_Ш = P_Ш.КВ + P_Ш.А = h²/12 + ∑ Δx²_ДОПj×p_j.

j=1

Если входной сигнал имеет равновероятное распределение мгновенных значений в диапазоне его изменения, то плотность его распределения будет p_j = 1/s, а средняя мощность полного (суммарного) шума, приведенного входу АЦП можно оценить по выражению

s

P_Ш = h²/12 + (1/s) ∑ Δx²_ДОПJ.

j=1

Из последнего выражения следует, что средняя мощность дополнительных (аппаратурных) шумов равна численно дисперсии отклонений реальной характеристики по отношению к идеальной передаточной характеристике (характеристике квантования). Если реальная характеристика квантования в среднем совпадает с идеальной, т.е. детерминированный сдвиг на каждой j-й ступени равен нулю Δx_ДОПj = 0, а имеют лишь случайные отклонения линий перехода с известной плотностью распределения p_j и дисперсией σ²_ДОПj, то справедливо выражение

s

P_Ш = h²/12 + ∑σ²_ДОПi×p_j.

j=1

Для смешанного случая, когда Δx_ДОПi ≠ 0, имеем

s

P_Ш = h²/12 + ∑ (Δx²_ДОПj+σ²_ДОПj)×p_j.

j=1

Если σ_ДОПj = σ_ДОП = const, получаем

s

P_Ш = h²/12 + σ²_ДОП+ ∑ Δx²_ДОПj×p_j.

j=1

Для равновероятного распределения мгновенного значения сигнала по ступеням квантования имеем p_j = 1/s.

Если воспользоваться аналогией между мощностью шумов и дисперсией случайного процесса, то можно провести оценку амплитудного среднеквадратического значения суммарного шума, приведенного ко входу АЦП, используя выражение

σ²_Ш.СУММ = D_Ш.СУММ = P_Ш.СУММ = P_Ш.КВ + P_Ш.А

или

σ_Ш.СУММ = √D_Ш.СУММ = √P_Ш.СУММ = √(P_Ш.КВ + P_Ш.А).

Оценка допустимых значений аппаратурной составляющей погрешности преобразования

Поскольку методическая составляющая суммарного шума, т.е. шум квантования, зависит от шага квантования, а именно P_Ш.КВ = h²/12, то его величина при заданном шаге квантования является неизменная. Суммарный шум, приведенный ко входу АЦП, будет увеличиваться при возрастании аппаратурных шумов P_Ш.А и нужна оценка того, какая допустима мощность аппаратурного шума, чтобы значение младшего разряда выходного кода АЦП не потеряло смысл. Очевидно, что среднеквадратическое значение суммарного шума не должно превышать половину шага квантования, соответствующего младшему разряду выходного кода, то есть

σ_Ш.СУММ ≤ h/2.

В случае, если σ_Ш.СУММ>h/2, значение младшего разряда кода абсолютно недостоверно, поскольку суммарная погрешность превышает допустимую величину для наихудшего случая. Младший n-й разряд такого АЦП перестает быть значащим и теряет смысл использования значения этого разряда; младшим значащим разрядом в этом случае становится предыдущий n-1 разряд выходного кода.

Если среднеквадратическая суммарная погрешность равна половине шага квантования σ_ш.сумм = h/2, то соответствующую мощность (дисперсию) аппаратурных шумов можно определить из мощности (дисперсии) суммарных шумов следующим образом:

σ²_Ш.СУММ = D_Ш.СУММ = P_Ш.СУММ = P_Ш.КВ + P_{Ш.А.МАКС} = h²/12 + P_{Ш.А.МАКС} = (h/2)².

Этому соотношению соответствует следующее выражение для максимального уровня аппаратурного шума, при котором заведомо достоверность значения младшего разряда АЦП равна нулю D_МР = 0,

P_{Ш.А.МАКС} = (h/2)² - h²/12 = h²/6 = 2P_Ш.КВ.

Можно утверждать, что при P_Ш.А = 0 достоверность младшего разряда равна единице Д_МР = 1, поскольку в этом случае отсутствуют аппаратурные шумы и АЦП идеален. Если предположить, что достоверность значения младшего разряда кода снижается линейно от 1 до 0 при увеличении мощности аппаратурных шумов от P_Ш.А = 0 до P_{Ш.А.МАКС} = 2P_Ш.КВ, то при мощности аппаратурных шумов равной мощности шумов квантования P_Ш.А = P_Ш.КВ, достоверность значения n-го разряда с шагом квантования будет равна 0.5, что является предельным допустимым значением аппаратурной составляющей погрешности, поскольку с вероятностью 0.5 ещё можно доверять значению младшего n-го разряда кода. На рис. 15 использована предполагаемая линейная зависимость достоверности младшего разряда Д_М.Р от соотношения значений аппаратурного шума АЦП и методической составляющей шума квантования P_Ш.А/P_Ш.КВ.

Рис. 15. Оценка допустимой мощности аппаратурных "шумов" P_Ш.А в сравнении с мощностью "шума" квантования P_Ш.КВ, Д_М.Р – это достоверность значения младшего разряда (МР) выходного кода АЦП. Чтобы достоверность была Д_М.Р≥0.5, должно быть P_Ш.А/P_Ш.КВ ≤ 1, при этом шаг квантования будет значащим h≥2√3 σ_Ш.А.

Из зависимости на рис.15 следует, что младший разряд выходного кода АЦП будет характеризоваться достоверностью 0.5 или более 0.5 и соответственно имел бы смысл, необходимо, чтобы аппаратурный шум АЦП не превышал методическую составляющую погрешности АЦП (не превышал бы значения мощности шума квантования)

P_Ш.А ≤ P_Ш.КВ= h²/12.

В этом случае среднеквадратическое значение аппаратурной погрешности АЦП, приведенной к его входу, должно удовлетворять неравенству

σ_Ш.А = √P_Ш.А ≤ h/(2√3).

Если исходить из этой оценки для выбора шага квантования АЦП по среднеквадратическому значению аппаратурной погрешности АЦП (по значению аппаратурных шумов) σ_Ш.А, шаг квантования должен быть выбран не менее 2√3σ_Ш.А, то есть

h ≥ 2√3 σ_Ш.А.

Следует отметить, что в случае, когда P_Ш.А = P_Ш.КВ= h²/12 и достоверность значения младшего разряда выходного кода Д_МР(P_Ш.А/P_Ш.КВ) принимается равной Д_МР = 0.5, то динамический диапазон АЦП уменьшается на 3 дБ по сравнению с идеальной статической передаточной характеристикой при P_Ш.А = 0, когда P_Ш = P_Ш.КВ= h²/12. При мощности аппаратурных шумов в АЦП P_Ш.А = 2P_Ш.КВ= h²/6 динамический диапазон АЦП снижается на 6 дБ, что и соответствует полной потере достоверности младшего разряда с шагом квантования равном h.

Вклад погрешности можно измерять в виде отношения мощности сигнала к мощности шума квантования (отношения сигнал-шум).

В случае аппроксимации при квантовании с использованием округления можно использовать следующее выражение для оценки динамического диапазона АЦП:

Pc/Pш = σ²_X/ σ²_ΔX = σ²_X/(h²/12) = σ²_X/(2^-2n/12) = 12(2²ⁿ σ²_X).

Используя логарифмическую шкалу, получаем следующее выражение

Pc/Pш = 10lg12 + n20lg2 + 10lg σ²_X, дБ.

Поскольку 20lg2 ≈ 6, то добавление одного разряда в вычислителе увеличивает отношение сигнал-шум приблизительно на 6 дБ.

Содержащийся в квантуемом сигнале шум определяет верхнюю границу числа уровней квантования. Очевидно, что нет особого смысла использовать малый шаг квантования, когда в сигнале содержится большой шум, так как в этом случае будем квантовать шум, а не сигнал. Необходимо выбрать столько уровней, чтобы вклад шума квантования был мал по сравнению с шумом, содержащимся в сигнале.