Зависимость уровня Ферми от концентрации примеси и температуры для невырожденного полупроводника
Условие электронейтральности – в любой точке кристалла суммарный заряд всех заряженных частиц должен быть равен нулю
Донорный полупроводник (NA=0) n0 pd
|
|
N D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n0 |
|
|
|
|
|
|
Невырожденный полупроводник n0 Nce |
e |
n0 |
Nc |
|
ge d |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
Nc N D |
|
|
|
|
||||
Получим n0 |
|
|
Это выражение преобразуется к виду |
|
|||||||
N |
c |
ge d n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
n02 g 1e d Nc n0 g 1e d Nc ND 0
Зависимость уровня Ферми от концентрации
примеси и температуры для невырожденного полупроводника
Решая квадратное уравнение, находим
|
|
|
g 1e d Nc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2ND |
|
||||||
|
n0 |
|
1 4ge |
d |
1 |
ND 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 4ge d N 1N 1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
Nc |
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c D |
|||||
|
|
n0 |
|
|
|
|
|
2ND Nc |
|
|
|
|
|
Прологарифмировав, получим |
|||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Nc |
1 4ge d Nc 1ND 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N |
c |
|
|
|
|
|
N |
c |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ge d Nc ND1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2ND |
|
|
|
|
2ND |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
c |
|
|
N |
c |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
F Ec kT ln |
|
|
|
|
|
ge d Nc ND1 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2ND |
|
2ND |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимость уровня Ферми от концентрации примеси и температуры для невырожденного полупроводника
Низкие температуры |
e Ec Ed |
kT Nc 2ND |
|
|
|
|
|||||||||
Область слабой ионизации примеси или область вымораживания |
|
||||||||||||||
F Ec |
E |
|
E |
d |
kT |
gN |
|
E |
|
E |
d |
kT |
gN |
|
|
|
c |
2 |
2 |
ln |
|
c |
|
c |
2 |
2 |
ln |
c |
|||
|
|
|
|
|
ND |
|
|
|
ND |
||||||
n0 Nce Nce Ec Ed 2kT 12 ln gNc ND |
g 1Nc Nd 1 2 e Ec Ed 2kT |
||||||||||||||
В невырожденном донорном полупроводнике при температуре абсолютного нуля уровень Ферми располагается посередине между дном зоны проводимости и уровнем донорной примеси.
Зависимость уровня Ферми от концентрации
примеси и температуры для невырожденного полупроводника
Другой крайний случай – температура |
|
|
e Ec Ed kT |
Nc |
2ND |
|||||||
достаточно высока и выполняется неравенство |
||||||||||||
Область истощения примеси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F Ec kT ln |
|
|
n N |
|
e |
N |
|
e ln Nc ND N |
|
|||
|
|
c |
c |
D |
||||||||
ND |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Практически вся донорная примесь ионизована, и концентрация электронов в зоне поводимости не зависит от температуры.
Зависимость уровня Ферми от концентрации
примеси и температуры для невырожденного полупроводника
Условие полной ионизации – F пересекает уровень Ed и уходит вниз. Температура, при которой F=Ed называется температурой истощения Ts
|
N |
|
|
|
|
Ts |
Ec Ed |
|
|
F Ec kT ln |
|
c |
|
Ed |
,откуда |
|
|
|
|
|
k ln Nc |
Nd |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
ND |
|
|
|
|
||||
Температура истощения тем ниже, чем меньше энергия ионизации (Ec-Ed) и концентрация донорной примеси ND и чем больше эффективная масса электронов, определяющая величину Nc
Германий, легированный сурьмой: для ND=1016см-3, (Ec-Ed)=9,6мэВ, Ts=32K
Зависимость уровня Ферми от концентрации примеси и температуры для невырожденного полупроводника
При дальнейшем повышении температуры увеличение концентрации электронов в зоне проводимости будет происходить за счёт переходов электронов из валентной зоны, т.е. это будет область собственной проводимости. Температуру, при которой произойдёт переход к собственной проводимости, можно найти из соотношения F=Fi
F E |
|
|
1 E |
|
|
kTi ln Nc |
E |
|
kT ln |
Nc |
|||||
|
|
|
ND |
||||||||||||
i |
c |
|
2 |
g |
|
2 Nv |
|
c |
|
|
i |
||||
Отсюда получаем |
Ti |
|
Eg |
|
|
|
|
|
|||||||
|
N |
N |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k ln |
c |
|
v |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ND2 |
|
|
|
|||
Температура Ti , при которой наступает собственная проводимость у
донорного полупроводника, тем ниже, чем меньше ширина запрещенной зоны и концентрация примеси и чем больше значение эффективных масс носителей заряда
