Физика полупроводников
Статистика электронов и дырок в полупроводниках
Плотность квантовых состояний
Пусть в кристалле единичного объема в интервале от E до E+dE существует dZ квантовых состояний (с учетом спина).
N(E) – плотность состояний, число состояний в единичном N (E) dZdE интервале энергии для единичного объема кристалла.
Число электронов dn, находящихся в состояниях dZ
dn f (E,T )dZ f (E,T )N (E)dE
Где f(E,T) – вероятность заполнения |
|||||
электроном состояния с энергией E |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
E2 |
||
Количество электронов в диапазоне энергий от E1 до E2 |
n f (E,T )N (E)dE |
||||
Рассмотрим случай, когда изоэнергетические поверхности |
|
E1 |
|||
|
|
|
|||
в зоне проводимости и валентной зоне являются сферами |
|
|
|
||
(эффективная масса – скаляр). |
|
|
p2 |
||
Энергия электронов у дна зоны проводимости |
E Ec |
||||
* |
|
||||
|
|
|
2m |
||
|
|
|
n |
||
Плотность квантовых состояний
Выделим шаровой слой между изоэнергетическими поверхностями E(p)=const
и E(p)+dE=const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сколько в нём квантовых |
|
|
||||
Его объём: |
|
|
dVp |
4 p |
2 |
dp |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
состояний ? |
|
|
|
|||||||||||||
одно значение k |
|
|
|
|
|
(2 )3/V |
|
|
Одно значение |
|
|
(2 ħ)3/V |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квазиимпульса p=ħk |
|
|
|
||
2 ориентации спина, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
На одно электронное состояние |
|
|
||||||||||
V=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приходится объем h3/2 |
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
dVp |
|
8 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dZ 2 h3 |
|
h3 |
p dp |
|
|
|
N (E) dZ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Так как |
p2 2mn* E Ec , |
|
|
dp 1 |
2mn* 1 2 E Ec 1 2 dE, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dE |
Получим плотность квантовых |
|
|
|
|
|
|
Дно зоны проводимости |
|||||||||||||
состояний у дна зоны проводимости : |
|
N(E) 4 2mn* h2 3 |
2 E Ec 1 2 |
|||||||||||||||||
Дырки: |
E E |
v |
|
|
|
p2 |
|
аналогично |
|
Потолок валентной зоны |
||||||||||
* |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2mp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N (E) 4 2m*p h2 3 |
2 Ev E 1 2 |
||
плотность квантовых состояний у потолка |
|
|||||||||||||||||||
валентной зоны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Плотность квантовых состояний
Сложная структура дна зоны проводимости
– масса является тензором. (Например, германий или кремний)
Изоэнергетические поверхности – эллипсоиды, описываемые уравнением
Где полуоси эллипсоида
ab
c
2m1 E
2m2 E
2m3 E
Ec 1
2 ; Ec 1
2 ; Ec 1
2
E Ec |
p2 |
|
py2 |
|
p2 |
|
x |
|
|
|
z |
||
2m1 |
2m2 |
2m3 |
||||
|
|
|
px2 p2y pz2 1 a2 b2 c2
Объем эллипсоида с полуосями a,b,c
Vp 43 abc 83 2m1m2m3 1
2 E Ec 3
2
dVp 4 2m1m2m3 1 2 E Ec 1 2 dE |
|
|
|
Если ввести эффективную |
|||||||||||
|
dVp |
2 3 2 |
|
|
|
|
|
|
массу плотности состояний |
||||||
|
|
1 2 |
|
|
1 2 |
|
* |
3 |
|
||||||
dZ 2 |
|
|
4 |
|
|
|
m1m2m3 |
|
|
E Ec |
|
dE |
m1m2m3 mdn |
|
то |
h |
3 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N E 4 2 h2 3 2 m1m2m3 1 2 E Ec 1 2 |
|
|
|||||||||||||
|
N E 4 2mdn* h2 3 2 E Ec 1 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотность квантовых состояний
Кремний
Абсолютный минимум энергии в зоне проводимости внутри 1-й зоны Бриллюэна в направлении <100>. Всего 6 эквивалентных минимумов, изоэнергетические поверхности – 6 эллипсоидов вращения . Плотность состояния увеличивается в 6 раз. Если учесть, что для кремния m1=m2 , то
N E 6 4 2
h2 3
2 m12m3 1
2 E Ec 1
2
Эффективная масса плотности состояний с учётом значений m1=0,19m0 m3=0,92m0
mdn* 62
3 m12m3 1
3 1,08m0
шесть эллипсоидов изоэнергетической поверхности зоны проводимости можно заменить одной сферической поверхностью с эффективной массой плотности состояний для электронов, равной 1,08m0
Валентная зона. Максимум в точке k=0, поверхности равной энергии двух подзон можно аппроксимировать сферическими поверхностями с эффективными массами тяжелых и лёгких дырок.
N E 4 2
h2 3
2 m*pт3 2 m*pл3
2 Ev E 1
2
N (E) 4 2mdp* 
h2 3
2 Ev E 1
2
mdp* m*pт3 2 m*pл3 2 2 3 0,56m0 |
Так как m* |
0,56m , |
m* |
0,16m |
|
pт |
0 |
pл |
0 |
Плотность квантовых состояний
Германий
Зона проводимости
В первой зоне Бриллюэна восемь эквивалентных минимумов энергии зоны проводимости в направлении <111>, они находятся на границе 1-й зоны Бриллюэна. Для каждого из восьми эллипсоидов поверхности постоянной энергии только половина находится внутри зоны. Таким образом, на первую зону Бриллюэна приходится четыре полных эллипсоида вращения. Для них m1=m2.
Следовательно
mdn* 42
3 m12m3 1
3 0,56m0 так как m1=0,082m0, m3=1,59m0
Валентная зона
Структура подобна структуре валентной зоны кремния.
mdp* m*pт3 2 m*pл3 2 2 3 0,35m0 |
Так как m*pт 0,33m0 , |
m*pл 0,04m0 |
Примесные состояния
Пример: Элементы V и III групп в качестве примесей в полупроводниковых кристаллах группы IV (Ge, Si)
ДОНОР
Пятивалентная примесь (P, As, Sb) - после образования четырех ковалентных связей остается один валентный электрон.
Избыточный электрон движется в кулоновском поле примесного атома с потенциалом e/ r, где - диэлектрическая проницаемость кристалла.
Энергия связи донорной примеси – оценим из водородоподобной модели ( заменим e2 на e2/ и m на m*).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергия ионизации донора |
|
Боровский радиус донора |
||||||
Ed |
|
e4m* |
|
|
ad |
|
2 |
|
2 2 2 |
|
m*e2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть для германия m* 0,1m0, =15,8
Получим |
Ed 0,006 эВ |
ad 80Å |
Примесные состояния
АКЦЕПТОР
Трёхвалентная примесь (B, Ga, Al, In) – чтобы образовать четыре двухэлектронные связи с соседями, необходимо захватить электрон с какого-нибудь атома IV группы. Тогда в валентной зоне образуется незаполненное состояние – подвижная дырка.
Энергия связи для акцепторов определяется аналогично донорам. Боровская модель качественно применима и для дырок.
Энергетическая диаграмма
электронного (а) и дырочного (б)
Плотность уровней в полупроводнике, содержащем полупроводников донорные и акцепторные уровни
Примесные состояния
Двумерное представление расположения связей для донорного (а) и акцепторного полупроводников
Примесные состояния
Энергия ионизации доноров Ed (эВ) в германии и кремнии
Донорами служат примесные атомы пятивалентных элементов
|
P |
As |
Sb |
Si |
0,045 |
0,049 |
0,039 |
Ge |
0,012 |
0,0127 |
0,096 |
Энергия ионизации акцепторов Ea (эВ) в германии и
кремнии
Акцепторами служат примесные атомы трехвалентных элементов
|
B |
Al |
Ga |
Si |
0,045 |
0,057 |
0,065 |
Ge |
0,0104 |
0,0102 |
0,0108 |