Оптические фононы
Наряду с акустическими волнами и соответствующими им акустическими фононами, в кристаллах, имеющих несколько атомов в элементарной ячейке, существует тип возбуждений, при котором соседние атомы независимо от длины волны колеблются практически в противофазе.
Впервые такой тип колебаний был обнаружен в ионных кристаллах (NaCl, KBr) при воздействии световой волны, вследствие чего он получил название
оптических колебаний
Оптические колебания, как и акустические, квантуются. Кванты энергии оптических колебаний называются оптическими фононами.
В общем случае в трёхмерных решётках возможны три типа (ветви) акустических колебаний – продольный и два поперечных. Если в базисе j атомов, то оптических типов (ветвей) будет 3(j-1)
Закон дисперсии оптических фононов
для линейной цепочки чередующихся атомов двух сортов с одной степенью свободы
Рассмотрим колебания одномерной цепочки N атомов двух сортов с одной степенью свободы. Считаем, что атомы могут смещаться только вдоль цепочки.
Пусть атомы с массами M и m (M>m) расположены соответственно в чётных и |
|||||
нечётных узлах цепочки на расстоянии a. Уравнения движения соседних |
|||||
атомов с номерами 2n и (2n+1) можно записать в виде: |
|||||
M |
2 |
2n 1 2n 1 |
2 2n , |
где 2n и 2n 1 - смещения 2n-го и (2n+1)-го |
|
t |
22n |
||||
|
|
|
|
атомов из положения |
|
|
2 2n 1 |
|
|
||
m |
2n 2 2n |
2 2n 1 , |
равновесия |
||
|
t2 |
|
|
|
|
Решения ищем в виде:
2n exp i t 2nka ,
2n 1 exp i t 2n 1 ka
принимая во внимание, что теперь колебания атомов разных масс будут происходить с разными амплитудами и
Подставляя эти функции в уравнения, учтем, что система имеет нетривиальное решение, если детерминант равен нулю.
Закон дисперсии оптических фононов
|
Получим систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
M 2 |
exp ika exp ika 2 , |
|
|
||||||||||||||||||||||
m 2 |
exp ika exp ika |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
Детерминант из её коэффициентов равен нулю: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 2M |
2 cos ka |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 cos ka |
2 2m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Это биквадратное уравнение с корнями: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
4sin2 ka |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mm |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
m |
|
M |
|
m |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m M , |
M m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Амплитуда смещения центра масс в |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
M |
ячейке равна нулю. Оптическая ветвь |
||||||
При ka<<1 |
|
2 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
Колебания соседних атомов |
|||
|
|
|
|
ka |
1 |
|
|
M m |
|
|
синфазны и одинаковая |
||
амплитуда. Акустическая ветвь
Закон дисперсии оптических фононов
Акустические фононы: Спектр разрешённых частот
заключён в интервале от 0 до 
2 
M
Оптические фононы:
Спектр разрешённых частот |
|
заключён в интервале |
|
от 2 m до |
2 1 M 1 m |
При M>>m интервал частот оптических фононов становится очень узким.
Зависимости +(k) и -(k) являются периодическими с полупериодом /(2a), а не /a, как у цепочки атомов одного сорта.
Разрешённые значения k определяются из циклических граничных условий
|
|
k |
|
2 |
q |
2 |
q |
, |
q 1, |
2, |
3, ..., |
N |
|
2n 2n N , |
2n 1 2n 1 N |
q |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
Na |
|
L |
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
2a |
|
L |
|
Всего N/2 возможных значений k, но поскольку две ветви – акустическая и оптическая, то в общей сложности N фононных мод, число, равное числу атомов в цепочке.
Оптические фононы в трёхмерных кристаллах
В трёхмерных кристаллах наряду с продольными существуют и поперечные колебания. Основные особенности оптических фононов, связанные с анизотропией свойств кристаллов:
1)в общем случае частоты поперечно поляризованных оптических колебаний различаются; 2)не существует строго продольных и строго
поперечных колебаний за исключением выделенных направлений поляризации колебаний, совпадающих с осями высокой симметрии; 3)Различным направлениям волнового вектора
соответствуют различные наборы дисперсионных кривых.
Количество фононных ветвей
Структура кристалла, состоящего из N атомов – решетка с базисом из p атомов. Тогда в трехмерном случае общее количество фононных ветвей – 3*p.
Из них :
3 ветви – акустические 3(p-1) ветвей – оптические
Общее количество фононных мод – 3*N Число мод в каждой ветви – N/p
Спектральная плотность фононов
Спектральная плотность акустических фононов
D |
dn |
, |
n( ) n|| n 1 n 2 |
3 |
dn |
3 |
d |
D |
i |
Di |
|||
|
|
|
i 1 |
d |
i 1 |
Функция D( ) является аддитивной функцией, и ее удобно строить, рассматривая функции Di( ) по отдельности.
Как вычислить спектральную плотность фононов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению: |
D( )d |
- равен полному числу разрешённых состояний |
|
|
|||||||||||||||
|
|
в спектре ( в первой зоне Бриллюэна) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим трехмерный случай: |
|
|
|
2 |
q |
x , |
qx 1, |
2, ..., |
L |
|
|
|
|
, |
|||||
Одноатомный кристалл с размерами L , L , L |
kqx |
|
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Lx |
|
|
2a |
|
|
||||||||||
|
|
x y z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и периодами решетки a, b, c, по осям x, y, z. |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
y |
, |
qy 1, |
2, ..., |
y |
|
, |
||||||||||
(ромбическая решетка) |
|
kqy |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2b |
|||||||||||||||
Циклические граничные условия для бегущих |
|
|
|
|
Ly |
|
|
|
|
||||||||||
волн): |
|
|
|
|
2 |
qz |
, |
qz 1, 2, ..., |
Lz |
|
, |
||||||||
|
|
kq |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2c |
||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
Lz |
|
|
|
|
||||||||
|
Разрешенные значения k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заполняют прямоугольный |
|
|
|
2 3 |
abc |
|
|
|
|
параллелепипед объёмом |
|
|
|
|
|
|||
|
(первая зона Бриллюэна) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
Lx Ly Lz 2 3 V |
|||||||
|
Элементарный объем |
||||||||
|
одного разрешенного |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для каждого k три |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
значения k: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
2 3 |
|
|
|
|
||
поляризации – 3N |
|
|
|
V |
|
|
|||
Общее число |
|
|
|
N |
|||||
|
|
||||||||
акустических волн |
различных состояний k |
|
abc |
|
V |
|
abc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спектральная плотность фононов
Функция Di( )=dni/d однозначно определяется законом дисперсии i(k) для i-й ветви спектра, который
характеризуется совокупностью поверхностей постоянной
частоты.
Рассмотрим две поверхности i(k)=const и i(k)+d =const
Определим объем, заключенный между ними. Выделим на поверхности i(k)=const элементарную
площадку dS(k). Соответствующий элементарный объем, заключенный между двумя поверхностями dSdk
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk -расстояние между поверхностями в точке k. |
||||||||||||||||||||||||
Весь объём между поверхностями имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
dSdk |
|
|
d dS |
|
d |
|
dS |
|
|
, Vg k d dk |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Vg k |
|
|
|
|
|
|
|
Vg k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
S |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
V |
Vd |
|
|
|
dS |
|
|
, |
|||
Объём на одно состояние 2 |
V , |
тогда |
|
|
|
Vg k |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 3 |
2 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dni |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование ведется по замкнутой |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Откуда |
Di d |
2 |
3 |
|
|
V |
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
поверхности S( i) i-й ветви спектра |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
gi |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спектральная плотность фононов
Каждая ветвь спектра ограничена сверху по частоте предельным значением iпред
Тогда для трёхмерного кристалла
Для двумерного кристалла
Для одномерного кристалла
DiIII
DiII
DI
|
V |
|
|
|
dS |
|
2 3 |
Vgi k |
|||||
|
|
S |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
V |
dl |
||
|
2 |
2 |
|
k |
||
|
|
l |
i |
|
gi |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
L |
1 |
|
|
|
|
|
2 Vg k |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iпред
iпред
iпред
iпред
пред
пред