Диффузия и дрейф неравновесных носителей заряда
Диффузия и дрейф неравновесных носителей заряда. Уравнение непрерывности.
Одномерная задача. Полупроводник с неравновесными носителями заряда n(x,t) и p(x,t). Выделим слой сечением 1 см2 и толщиной dx.
tn(x,t)
tdt n(x,t dt)
Изменение в объеме dx за время dt:
n(x,t dt)dx n(x,t)dx nt dxdt
Это изменение концентрации электронов может происходить за счёт генерации, рекомбинации, диффузии и дрейфа носителей заряда.
1. Генерация G (исключая равновесную тепловую G0).
Gdxdt - столько электронов будет создано за dt в слое толщиной dx
2. Рекомбинация R (линейный режим, R0 уравновешивается G0 ).
dn |
dxdt |
n n0 |
dxdt |
прорекомбинирует за dt в слое dx |
|
Rdxdt |
|
|
|
||
|
dt r |
|
|
|
|
Уравнение непрерывности.
3. Диффузия и дрейф. Если In(x,t) – поток электронов, проходящих через 1 см2 поверхности за 1 с, то за время dt через границу слоя x войдет In(x,t)dt а через границу x+dx выйдет In(x+dx,t)dt электронов. Изменение числа электронов в объёме dx за время
dt:
In x,t dt In x dx,t dt Ixn dxdt
Полное изменение концентрации электронов в объёме dx за время dt составит:
|
|
|
|
|
n dxdt Gdxdt |
In dxdt |
n n0 dxdt |
|
|
|
|
|
|
t |
|
x |
n |
|
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
n |
G |
In |
|
n n0 |
Уравнения непрерывности для электронов и |
|||
t |
x |
|
n |
дырок |
|
|
||
p |
G |
I p |
|
|
p p0 |
|
|
|
t |
x |
|
p |
|
|
|
||
Уравнение непрерывности.
|
Jn eIn |
|
|
Выразим потоки электронов и дырок |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
J p eI p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
через плотности тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И обобщим рассмотрение на |
|
Одномерный стационарный случай |
|||||||||||||||||||||||||
трёхмерный случай |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n n0 |
|
n 0; |
p |
0. |
|
|
|||||||||||
|
|
G |
|
|
|
|
divJn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
||||
|
t |
|
e |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Jn G n n0 ; |
||||||||||||||
|
p |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
p p0 |
|
||||||||||||||
|
t |
G |
|
|
e |
divJ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
J x |
|
J y |
|
|
|
|
|
|
J z |
|
1 |
J p |
G |
p p |
0 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
divJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
p |
|
|
|||||||||||
x |
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Диффузионный и дрейфовый токи
Предположим, концентрация носителей заряда возрастает вдоль оси x
Поток через границу x между слоями 1 и 2 с толщинами dx за счет хаотического движения: Из слоя 1 в слой 2 пропорционален n(x-dx/2), Из слоя 2 в слой 1 пропорционален n(x+dx/2)
Общий поток через границу пропорционален:
n x dx2
n x dx dn dx2 dx
Его можно записать в виде:
|
|
|
dn |
; |
Dn |
|
|
|
In Dn dx |
коэффициент диффузии электронов |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично для дырок |
|
|
||||||
I |
|
D |
dp |
; |
D |
|
коэффициент диффузии дырок |
|
|
p |
|
p dx |
|
|
p |
|
|
Диффузионный и дрейфовый токи
Если перейти от потоков частиц к электрическим токам
Jn диф eDn dndx ;
Jp диф eDp dpdx ;
Во внешнем электрическом поле появляется дрейфовый ток
Jn др en n ; |
|
|
|
|
J p др ep p ; |
dn ; |
|
|
|
Jn Jn др Jn диф en n eDn |
|
|
||
|
dx |
|
|
|
J p J p др J p диф ep p eDp |
dp |
; |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dn |
Dp |
dp |
J Jn J p e n n p p e Dn |
dx |
. |
||
|
|
|
dx |
|
Соотношение Эйнштейна
В неоднородном полупроводнике при термодинамическом равновесии ток равен нулю. Токи проводимости уравновешивают диффузионные токи.
Рассмотрим токи для электронов:
|
|
n n ст Dn dn |
|
|
|
dx |
|
В полупроводнике имеется статическое электрическое поле |
ст |
||
Электроны в этом поле будут обладать потенциальной энергией |
U e |
||
Для невырожденного полупроводника: |
|
||
n N |
c |
e Ec U F kT n ee kT |
|
|
0 |
|
|
где |
n |
N |
c |
e Ec F kT |
- равновесная концентрация электронов |
|
0 |
|
|
|
Соотношение Эйнштейна
Учитывая, что |
ст |
d |
|
и подставляя n и dn/dx в уравнение, получим |
||||||||||
dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n ee kT d D en0 ee kT d |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n 0 |
dx |
n kT |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Откуда для электронов получим: |
|
n |
|
|
e |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
kT |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично для дырок |
|
|
|
|
p |
|
|
e |
|
|
||||
|
|
|
|
Dp |
kT |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Уравнение, связывающее коэффициент диффузии носителей заряда, подчиняющихся статистике Максвелла, с их дрейфовой подвижностью в условиях термодинамического равновесия, носит название соотношения
Эйнштейна.
Эксперимент: соотношение Эйнштейна справедливо и для неравновесных носителей заряда
Монополярная проводимость. Диффузия и дрейф неравновесных носителей заряда
Однородный полупроводник n-типа (для определенности). Пусть свободные носители заряда появляются только возбуждением с уровня примеси.
n Nd |
Часть полупроводника равномерно освещается |
|
|
слабопоглощающимся светом |
|
|
|
|
|
|
Избыточные электроны диффундируют в |
|
|
неосвещенную часть |
|
|
|
в некоторой области полупроводника нарушается электронейтральность
возникает объёмный заряд
Возникает электрическое поле, препятствующее диффузии электронов
Монополярная проводимость. Диффузия и дрейф неравновесных носителей заряда
J Jдр Jдиф |
en n ст eDn dn |
0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
Пусть |
n n0 |
|
Используя соотношение Эйнштейна, получим: |
|||||||||||||||||
ст |
eDn d n |
|
|
|
|
|
|
kT |
d n |
kT d n |
||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx en |
dx |
|||||||||
en |
n |
|
e n |
|
n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|||||||
Продифференцировав: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
d ст |
kT d 2 n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
en |
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но из уравнения Пуассона: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d ст |
|
1 |
|
|
|
e |
|
|
n |
|
где |
e n |
- объемный заряд в |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
dx |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
неосвещённой области |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|