Кинетические явления в полупроводниках
Кинетические явления в полупроводниках
Явления, обусловленные движением носителей заряда под действием электрического и магнитного полей, градиента температуры и градиента концентрации носителей заряда, называют явлениями переноса или
кинетическими явлениями
1.Если система носителей заряда находится в термодинамическом равновесии, их число в любом элементе объёма остаётся неизменным, полный поток равен нулю несмотря на хаотическое движение.
2.Если наложено электрическое или магнитное поле – к хаотическому движению добавляется дрейф.
|
|
|
|
Электроны без рассеяния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Электрическое поле |
Магнитное поле |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dp |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v, H |
|
|
|
|
|||
dp dk eE |
|
dt |
c |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt |
|
dk |
|
e |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
k , |
H |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
e |
E |
t |
|
dt |
|
|
|
mc |
|
|
|
|
|||||||
k |
k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dk |
|
|
|
e |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k , |
H |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
mc |
|
|
|
|
|||||||
Кинетические явления в полупроводниках
3. Существует механизм, препятствующий действию поля – рассеяние. Рассеяние восстанавливает равновесие.
Если среднее время между столкновениями , то
Электрическое поле |
|
Магнитное поле |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
k |
k |
k0 |
e E |
|
k |
|
k , H |
|
||
mc |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Возникает сдвиг в распределении Ферми. Для всех практически достижимых полей энергия, поглощаемая электронами от поля, мала по сравнению с первоначальной энергией электрона, так что сдвиг мал.
f k f0 k f k ; |
f0 k - равновесная функция, |
f k f0 k |
5. Потоки частиц и энергии можно выразить через скорости частиц и функцию распределения носителей заряда
Кинетические явления в полупроводниках
Методы равновесной статистической механики непригодны, но возмущённое состояние не слишком сильно отличается от равновесного, поэтому можно провести расчёт градиентов.
Рассмотрим движение зарядов в фазовом пространстве
d d r d p |
dxdydzdpxdpy dpz |
- элемент объёма фазового |
|
|
|
|
|
|
|
|
пространства |
Пусть |
|
|
|
r,v,t |
- количество электронов в единице объёма фазового |
||
|
|
пространства или функция распределения |
|
Общее число электронов
N r,v,t d r ,v,t d d
r p
Кинетические явления в полупроводниках
Плотность потока частиц
I v r,v,t d
p
Плотность тока
J e v r ,v,t d
p
Плотность потока энергии
|
|
m |
v |
2 |
|
|
w |
|
2 |
|
v |
r ,v,t d |
Примечание:
p
Когда вычисляем плотности, интегрируем только по импульсному пространству
Кинетические явления в полупроводниках
Как связано количество электронов в единице объёма фазового пространства с привычной функцией распределения?
количество частиц в |
количество фазовых |
Вероятность их |
|
ячеек в единице |
|||
единице объёма |
заполнения f |
||
объёма |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Удобно перейти из пространства квазиимпульсов в |
|
|
3 |
3 |
|
|||||||||||||||||||
пространство волновых векторов |
|
|
d p |
|
|
|
|
|
|
|
d k |
|||||||||||||
|
|
|
dpx dpy dpz |
dkx dky dkz |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 f |
3 |
|
3 |
d k |
|
e |
|
|
|
|
|
|||||
J |
e v |
r ,v,t d p e v |
|
|
|
3 v f k d k |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
VB |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
J |
|
|
|
v f k |
d k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическое уравнение Больцмана
Нужно найти неравновесную функцию распределения f (число частиц в одной фазовой ячейке)
f |
f |
|
f |
f |
-дрейф (drift); |
f |
-рассеяние |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
|
|
(collision) |
|||||||
|
t d |
|
|
t c |
|
t d |
|
|
t c |
||
Дрейфовую производную можно связать с внешним влиянием, если проследить за движением данной группы электронов.
Пусть в момент времени t число электронов в элементе объёма d rd p равно f(r,v,t)(2/h3) d rd p
В более поздний момент времени t+ t координаты и скорости всех частиц этой группы примут значения r+ r= r+v t, v+ v= v+a t, однако число частиц не изменится ( теорема Лиувилля: функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве)
f r v t,v a t,t t f r,v,t
|
f |
|
f |
|
f |
|
f r ,v,t |
v t |
a t |
t |
t f r, v,t |
||
|
r |
|
v |
|
|
|
|
f |
f |
f |
||
|
|
v |
a |
|
|
|
t d |
|
r |
|
v |
|
|
|
|
|
|
Кинетическое уравнение Больцмана
Для описания рассеяния введём условную вероятность перехода W(k,k’) – вероятность того, что частица в единицу времени перейдёт из состояния k в состояние k’ (при этом координата не изменится)
Тогда за dt из объёма d rd p уйдёт
dt W k , k f k 2 h |
3 |
1 |
f k |
2 h |
3 |
d r d p d p |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Интегралы по всем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dt W k , k 1 |
f k 2 h |
3 |
f k |
2 h |
3 |
d r d p d p |
возможным состояниям) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда, учитывая, что W(k,k’)= W(k’,k) (принцип микроскопической обратимости вероятности)
Изменение числа частиц за dt в объёме d rd p будет равно
f |
|
|
2 |
|
d |
|
d |
|
dt |
|
dt W k , k f |
k 2 |
|
h |
3 |
1 |
f k |
|
2 h |
3 |
d r d p d p |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f k 2 h |
|
|
d r d p d p |
|
|
|
|
||||||||||||||
dt W k , k 1 f k 2 h |
3 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 h |
3 |
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d k |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dtd r d p |
|
k |
, k |
f k |
|
f k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кинетическое уравнение Больцмана
|
|
f |
|
|
|
|
|
d k |
|
||
В итоге получим: |
|
|
W k , k f k |
|
|
f k |
|
|
- Интеграл столкновений |
||
|
|
3 |
|||||||||
|
t c |
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Общее уравнение для функции распределения: Кинетическое уравнение Больцмана
|
f |
f |
f |
|
|
|
|
|
d k |
|||
|
|
v |
a |
|
W k , k f k |
|
f k |
|
|
|||
|
3 |
|||||||||||
t |
|
r |
|
v |
|
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Стационарный
случай:
|
f |
|
f |
f |
|
f |
|
|
|
|
|
d k |
|||||
|
|
0; |
v |
a |
|
|
W k , k f k |
|
|
f k |
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
||||||||||||||
t |
|
r |
|
v |
t c |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Самая сложная задача – исследование правой части уравнения, определяемой столкновениями. Упрощение – вводим функцию (v), определяемую таким образом:
- среднее время, в течение которого в системе существует неравновесное распределение заряда
|
f |
|
f f0 |
; |
|
|
|
||
|
t c |
|
v |
|
Кинетическое уравнение Больцмана
Самая сложная задача – исследование правой части уравнения, определяемой столкновениями. Упрощение – вводим функцию (v), определяемую таким образом:
|
f |
|
f f0 |
; |
|
|
|
||
|
t c |
|
v |
|
Если в стационарном состоянии выключить возмущение, то
ff0 f t 0 e t
- среднее время, в течение которого в системе существует неравновесное распределение заряда после снятия внешних полей.
Запишем f в виде: f k f0 f1; |
|
f |
0 |
|
f |
0 |
m |
|
|
f1 |
|
k |
|
|
v |
||||
E |
E |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
Будем считать, что не зависит от внешних полей. Тогда получим уравнение
f |
f |
f |
1 |
|
||
v |
a |
|
|
|||
|
r |
|
v |
v |
||