ИЭ (станции+реле лектор Горячевский) / Экзамен / НАШИ ВОПРОСЫ к экзу

Вопросы к экзамену по математическим задачам энергетики

Литература:

Идельчик. Расчеты и оптимизация режимов электроэнергетических систем.

Демидович, Марон - Основы вычислительной математики

1. Запись системы уравнений для расчета установившегося режима работы энергосистемы. Узлы, ветви. Метод узловых напряжений.

2. Метод Гаусса решения СЛАУ.

3. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простой итерации. Метод Зейделя.

4. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод Ньютона.

5. Метод Эйлера решения систем дифференциальных уравнений. Явный и неявный метод.

6. Методы решения диф. ур. с переменным и постоянным шагом интегрирования. Выбор минимального шага интегрирования, начального шага, максимального шага.

7. Методы нахождения значения определенного интеграла.

8. Применение дискретной математики. "Гребёнка" Дирака. Переход от формул для непрерывных множеств к дискретным.

9. Ряд Фурье, преобразование Фурье, дискретное преобразование Фурье.

10. Задача оптимизации решения. Понятие целевой функции.

Задачи:

1. Метод Гаусса

Найти методом Гаусса решение системы:

2x - 3y + 4z = 8

-6x + 3y + 1z = 3

-5x + 7y + 1z = 12

Решение:

Записываем расширенную матрицу:

2 -3 4 8

-6 3 1 3

-5 7 1 12

По методу Гаусса делим первую строку на ведущий элемент (первое число по диагонали):

1 -1.5 2 4

-6 3 1 3

-5 7 1 12

Складываем с остальными строками так, чтобы получился ноль под ведущим элементом:

1 -1.5 2 4 1 -1.5 2 4

-6+1*6 3-1.5*6 1+2*6 3+4*6 = 0 -6 13 27

-5 +1*5 7-1.5*5 1+2*5 12+4*5 0 0.5 11 32

Теперь вторую строку делим на её ведущий элемент:

1 -1.5 2 4 = 1 -1.5 2 4

0 1 -13/6 27/6 = 0 1 -2.17 -4.5

0 0.5 11 32 = 0 0.5 11 32

Теперь все элементы под ведущим складываем со второй строкой так, чтобы получился 0:

1 -1.5 2 4 1 -1.5 2 4

0 1 -2.17 -4.5 = 0 1 -2.17 -4.5

0 0.5-1*0.5 11+2.17*0.5 32+4.5*0.5 0 0 9.92 29.75

После этого делаем обратный ход метода Гаусса, выбираем ведущий элемент в третьей строки по диагонали и получаем в нём единицу:

1 -1.5 2 4

0 1 -2.17 -4.5

0 0 1 3

Теперь получаем сложением строк и умножением получаем ноль во всех элементах над ведущим:

1 -1.5 0 -2

0 1 0 2

0 0 1 3

Последним действием возвращаем ведущий элемент обратно во вторую строку и получаем нули над ней:

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

Ответ : x=1 , y = 2, z = 3

2. Метод простой итерации

Решить уравнение x+cos(x)-1=0 методом простой итерации, начиная с x=1

Одно неизвестное переносим в левую часть уравнения, остальные – в правую:

x = -cos(x) + 1

Подставляем начальное значение х = 0

x =1 = - cos (1) + 1 = 0.46

Погрешность между левой и правой частью большая, повторяем расчет:

x = 0.46 = - cos (0.46) + 1 = 0.1

Погрешность опять большая, повторяем итерацию

x = 0.1 = - cos (0.1) + 1 = 0.005

Погрешность снова большая, повторяем:

x = 0.005 = - cos (0.005) + 1 = 0.00001

Здесь погрешность уже небольшая, значит, число x = 0.00001 = 0 будет решением уравнения

3. Явный метод Эйлера

Решить явным методом Эйлера уравнение на промежутке t=[0;1] c шагом 0.2 при u(0)=0

Записываем явную формулу Эйлера:

Здесь по условию шаг h = 0.2, а производная du/dt = u^2+2t

Подставляем в нее по очереди значения. На первом шаге по условию t = 0.2 , u(0) = 0

На втором шаге t = 0.4

На третьем шаге t = 0.6

и так далее

5. Метод левых/правых прямоугольников, метод трапеций.

Дано уравнение . Методом левых прямоугольников найти интеграл на интервале t=[0;1] c шагом 0.2

Записываем функцию в виде

Вычисляем значение функции в каждой точке:

u (0) = 0

u (0.2) = 0.63

u (0.4) = 0.89

и т.д.

Затем умножаем значение в каждой точке на ширину шага и суммируем их:

U = u(0)*h + u(0.2)*h + u(0.4)*h + …