Экзамен 2021 / Билеты с ответами / 17 билет
.docxЧастотная модуляция. Формула, временные и спектральные диаграммы.
При ЧМ частота ВЧ колебания (несущей) изменяется в соответствии с НЧ модулирующим сигналом.
чм (t) = 0 + Uнч(t), где (9.1)
чм (t)- частота ЧМ сигнала;
0- среднее значение несущей частоты;
Uнч(t)-модулирующий сигнал;
-девиация частоты, т.е. максимальное отклонение частоты от среднего значения.
Если модулирующий сигнал гармонический, т.е.
Uнч = cost,
то чм(t) = 0 + соst
а выражение для ЧМ сигнала имеет вид:
чм(t) =
Uчм(t) = Umcos(0t+
Mч - индекс ЧМ. (9.2)
Uчм(t) = Umcos(0t+
Временная диаграмма модулирующего сигнала имеет вид:
Временная диаграмма соответствующего ЧМ сигнала принимает вид:
Как видно из рис.9.2, там, где модулирующий сигнал больше, там и частота ЧМ сигнала больше , а период колебаний меньше.
чм(t) = 0 + cost
max = 0 +
min = 0 -
Амплитуда при ЧМ постоянна, меняется только частота.
Для получения спектра ЧМ сигнала разложим Uчм(t) в ряд Фурье.
Uчм(t) = Umcos(0t+ = Um0(Mч)cos0t+ Um1(Mч)cos(0+)t- Um1(Mч)cos(0)t+Um2(Mч)cos(0+2)t+Um2(Mч)cos(02)t+Um3(Mч)*cos(0+3)t- Um3(Mч)cos(0-3)t+
k(Mч) - функция Бесселя к-ого порядка.
Вид спектра зависит от Мч.
Спектр ЧМ сигнала при Мч<<1 (т.е. порядка 0,1; 0,05;)
При Мч<<1 спектр ЧМ сигнала похож на спектр АМ сигнала (несущая, 2 боковых ), но для ЧМ этот спектр приближенный. Все остальные боковые тоже есть, но они очень малы.
Спектр ЧМ сигнала при Мч>1 выглядит так (Мч=5):
Полоса частот сигнала ЧМ.
Пчм 2(Мч+1)
Мч<<1 Пчм 2, ( как при АМ )
Мч>>1 Пчм 2Мч = 2 2
Ширина спектра при Мч>>1 не зависит от модулирующей частоты. Это широкополосный сигнал.
Согласованный фильтр
(Пункт 3 во второй части лекций, здесь только ответ на вопрос)
Оптимальный фильтр - это фильтр, обеспечивающий на выходе максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума. Если помеха, поражающая сигнал, является белым шумом, то оптимальный фильтр называется - согласованным фильтром (СФ). Таким образом, если на вход СФ поступает сигнал uc(t) в сумме с белым шумом x(t): z(t)=uc(t)+x(t) (3.1) то на выходе СФ получим максимальное отношение мощности сигнала к мощности шума. Определим, какими должны быть характеристики СФ. Напряжение на выходе линейного фильтра с импульсной реакцией g(t) имеет вид:
Первое слагаемое – напряжение полезного сигнала, второе – напряжение помехи. Дисперсия помехи равна:
где G0δ(τ-ν) – функция корреляции белого шума со спектральной плотностью энергии G0.
Отношение мощности сигнала к дисперсии шума на выходе СФ равно:
Первое неравенство записано в соответствии с неравенством Буняковского – Шварца. Замена t на Т во втором неравенстве выполнена, исходя из неотрицательности подинтегрального выражения, которое не убывает при увеличении верхнего предела. Равенство в (3.4) достигается только при условии, что g(t)=uc(T-t);
Это означает, что название фильтра "согласованный" определяется тем, что его характеристики согласованы с характеристиками сигнала uс(t): - импульсная реакция g(t) согласованного фильтра совпадает с зеркальным отображением сигнала:
g(t)=uс(Т-t) (3.5)
Для импульса несимметричной формы, заданного, например, выражением: uc(t) = Um(l-t/T), при 0 < t < T, импульсная реакция фильтра, согласованного с ним, равна: g1(t)=u(T-t)=Umt/T, при 0 < t < T.
Соответствующий треугольный сигнальный импульс и импульсная реакция согласованного с ним фильтра имеют вид рис.3.1а, б.
Определим частотную характеристику СФ, как преобразование Фурье от g(t):
И т.д. в лекции…