Пособие
.pdfОчередное приближение х1 при y = 0
x |
b |
f(b) |
(b a). |
|
|||
1 |
|
f(b) f(a) |
|
|
|
|
Тогда рекуррентная формула метода хорд для этого случая имеет вид
x |
|
x |
|
|
|
f(x |
n |
) |
(x |
|
a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
n |
f(x |
|
) f(a) |
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3-14)
За неподвижную точку в методе хорд выбирают тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f (x)∙f (x)>0.
Таким образом, если за неподвижную точку приняли точку а, то в качестве начального приближения выступает х0 = b, и наоборот.
Достаточные условия, которые обеспечивают вычисление корня уравнения f(x)=0 по формуле хорд, будут теми же, что и для метода касательных (метод Ньютона), только вместо начального приближения выбирается неподвижная точка. Метод хорд является модификацией метода Ньютона. Разница состоит в том, что в качестве очередного приближения в методе Ньютона выступает точка пересечения касательной с осью 0Х,а в методе хорд – точка пересечения хорды с осью 0Х – приближения сходятся к корню с разных сторон.
Оценка погрешности метода хорд определяется выражением
x * x |
|
|
M m |
|
x |
x |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
m |
|
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(2.3-15)
где m1 и M1 – соответственно наименьшее и наибольшее значения f (x) при x [a, b].
Условие окончания процесса итераций по методу хорд
x |
x |
|
|
ε m |
или |
f(xn ) |
ε. |
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n 1 |
|
M |
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
(2.3-16)
В случае, если M1<2m1, то для оценки погрешности метода может быть использована формула
| xn-xn-1| .
Пример 2.3-4. Уточнить корень уравнения ex – 3x = 0, отделенный на отрезке [0;1] с точностью 10-4.
Проверим условие сходимости:
f (x) ex 3, |
f (0) 3, |
f (1) 0.28, |
||
f (x) ex , |
f (0) 1, |
f (1) 2.72. |
21
Условие сходимости выполняется.
Следовательно, за неподвижную точку следует выбрать а=0, а в качестве начального приближения принять х0=1, поскольку f(0)=1>0 и f(0)*f"(0)>0.
Результаты расчета, полученные |
с использованием формулы |
|||||||
2.3-15, представлены в таблице 2.3-4. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Таблица 2.3-4 |
|||
|
|
|
x |
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
0.7812 |
|
|
-0.1569 |
|
|
|
|
|
0.6733 |
|
|
-0.0591 |
|
|
|
|
|
0.6356 |
|
|
-0.0182 |
|
|
|
|
|
……….. |
|
|
……….. |
|
|
|
|
|
0.6191 |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.147∙10-5 |
|
|
Требуемая точность достигается на 8-й итерации. Следовательно, за |
||||||||
приближенное значение корня можно принять |
х = 0.6191. |
Тема 3. Интерполяция функций
3.1. Постановка задачи
Вычисление значений функции y = f(x) – одна из тех задач, с которой приходится постоянно сталкиваться в инженерной практике. Однако сделать это не всегда возможно. Примером тому следующие типичные ситуации:
функция задана таблицей значений (нет аналитического выражения), необходимо вычислить значения функции в точках, не совпадающих с табличными значениями аргумента;
аналитическое выражение f(x) есть, но получение ее значений для нужных значений х затруднено громоздкими и сложными вычислениями;
значения функции в требуемых точках могут быть получены только
экспериментально.
В этих и ряде других случаев возникает необходимость приближенного вычисления функции y = f(x).
Задача приближенной замены таблично заданной в (n + 1) точках функции y = f(x),, некоторой функцией (х), принимающей в этих точках заданные значения функции, то есть
φ(xi ) yi , i = 0, 1, 2, … n |
(3.1-1) |
называется задачей интерполяции.
22
Будем называть (3.1-1) - условием интерполяции, точки
x |
i |
|
– узлами
интерполяции, а функцию (х) – интерполирующей функцией.
Вид интерполяции зависит от вида элементарных функций, входящих в состав интерполирующей функции (экспоненциальная, логарифмическая, тригонометрическая и др.) В качестве интерполирующей функции часто используют алгебраический многочлен вида:
m(x) = a0 + a 1x + a 2x2 + … + amxm. |
(3.1-2) |
В этом случае говорят о параболической или полиномиальной интерполяции.
Геометрической интерпретацией задачи интерполяции является нахождение функции, график которой проходит через заданную систему точек
(xi,yi ) , i = 0, 1, …, n (рис. 3.1-1).
Рис.3.1-1
Если в качестве интерполирующей функции (3.1-2) используется алгебраический многочлен степени не выше n, то задача имеет единственное решение.
Для доказательства этого утверждения, применяя интерполирующую функцию (3.1-2), запишем условие (3.1-1) для каждого из (n + 1) узлов. В результате получим следующую систему (n + 1) линейных уравнений:
a |
|
a x |
|
a |
|
|
x |
2 |
|
a |
|
|
x |
n |
f(x |
|||
0 |
0 |
2 |
0 |
n |
0 |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a x |
|
a |
|
|
x |
2 |
|
a |
|
|
xn |
f(x |
|||||
a |
0 |
1 |
2 |
n |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
................................................. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
a |
|
|
x |
2 |
|
a |
|
|
x |
n |
f(x |
|||
a |
0 |
n |
2 |
n |
n |
n |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1
n
), ),
).
Эта система однозначно разрешима, так как ее определитель (определитель Вандермонда) отличен от нуля, а узлы интерполяции различны.
23
Решение полученной системы n+1 линейных уравнений относительно неизвестных а0, а1, …, аn позволяет найти коэффициенты интерполирующего многочлена (3.1-1).
Пример 3.1-1.Пусть функция y = f(x) |
задана таблично: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.1-1 |
|
|||
|
|
xi |
|
|
1 |
|
|
1.2 |
|
|
1.4 |
|
|
1.6 |
|
|
1.8 |
|
|
|
yi |
|
|
0 |
|
|
-0.16 |
|
|
-0.24 |
|
|
-0.24 |
|
|
-0.16 |
|
Требуется построить интерполяционный многочлен, позволяющий вычислить значение f(x) в точке x = 1.43.
Полагая x0 = 1.2 , |
x1 = 1.4 , |
|
|
|
x2 = 1.6, |
||||
y0 =-0.16, y1 = -0.24, |
y2 = -0.24, получим систему уравнений |
||||||||
a |
|
1.2a |
1.2 |
2 |
a |
|
0.16 |
||
0 |
|
2 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
a |
|
1.4a |
1.42 a |
|
0.24 |
||||
|
0 |
2 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
a |
|
1.6a |
1.6 |
2 |
a |
|
0.24 |
|
|
0 |
|
2 |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
В результате решения системы уравнений, получим следующие значения: а0 = 2, а1 = -3, а2 = 1.Тогда интерполяционный многочлен имеет следующий вид: P2(x)=2 – 3x + x2,а значение многочлена в точке 1.43 равно P2(1.43)= - 0.2451.
3.2. Интерполяционная формула Лагранжа
Пусть функция f(x) задана в (n + 1)узлах, произвольно расположенных на отрезке [a;b]:y0 = f(x0), y1 = f(x1), … yn = f(xn).
Требуется найти интерполирующий алгебраический многочлен Ln(x),
степени не выше n, удовлетворяющий условию (3.1-2), такой, что:
L0 = y0, L1 = y1, …, Ln = yn. |
(3.2-1) |
Будем искать Ln(x) вида:
Ln = Q0(x)y0 + Q1(x)y1 + … + Qn(x) yn,
где Qi(x) – коэффициенты, зависящие только от узлов текущего значения х.
(3.2-2)
xi , i=0,1,…,n
Для того чтобы выполнялись условия интерполяции (3.2-1), требуется, чтобы коэффициенты Qi(x)удовлетворяли условию:
24
|
0, |
если |
i j, |
Q |
если |
i j. |
|
i |
1, |
||
|
|
|
|
Очевидно, для того чтобы L(х0)=y0, необходимо, чтобы в (3.2-2)
Q0(x0) = 1, Q1(x0) = 0, …, Qn(x0)=0.
В то же время в других узлах интерполяции первое слагаемое формулы (3.2-2), связанное с yi, должно быть равно нулю, то есть: Q0(xi) =0, i = 1, 2,
…,n.
Этим требованиям отвечает коэффициент вида:
Q |
|
(x x )(x x |
|
)(x x |
|
)...(x x |
|
) |
|
|
. |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
(x |
|
x )(x |
|
x |
|
)(x |
|
x |
|
)...(x |
|
x |
|
) |
|
|||
|
|
0 |
0 |
2 |
0 |
3 |
0 |
n |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.2-3)
Поскольку в числителе Q0(x) записано произведение разностей со всеми узлами кроме х0, то Q0(x) обращается в ноль при х = хi ; i = 1, 2, …,n. В то же время при х = х0числитель и знаменатель дроби взаимно сокращаются и
Q0(x0)=1.
Для того чтобы Ln(x1) = y1, коэффициенты в (3.2-2) должны принять значения: Q1(x1) = 1; Q0(x1) = 0…Qn(x1) =0.
Чтобы в других узлах коэффициент Q1(x), связанный с yi, принял значение ноль, нужно, чтобы Q1(xi) = 0, i = 0, 2, 3, …, n. Тогда произведение разностей в числителе обращается в ноль во всех узлах, кроме х1, а при х = х1 коэффициент равен 1.
Обобщая вышесказанное, получим выражение для Qi(x):
Q (x) |
(x x |
|
)(x x |
|
)...(x |
)(x x |
)...(x x |
|
) |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|||
i |
(x |
x |
|
)(x |
|
x |
)...(x |
|
x |
|
)(x |
|
|
)...(x |
|
x |
|
) |
|
||||||
|
0 |
i |
i |
i 1 |
i |
i |
n |
|
|||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
(3.2-4)
Для интерполяционного многочлена Лагранжа это выражение (3.2-2) будет иметь следующий вид:
n Ln (x) i 0
(x x |
0 |
)(x x |
|
)... |
(x |
i 1 |
)(x x |
i 1 |
)... |
|
(x x |
n |
) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(x |
i |
x |
0 |
)(x |
i |
x |
)... |
(x |
i |
x |
i 1 |
)(x |
i |
|
i 1 |
)... |
(x |
i |
x |
n |
) |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
i |
|
.
(3.2-5)
Несмотря на громоздкость (3.2-5), одним из преимуществ формулы Лагранжа является возможность ее записи непосредственно по заданной таблице значений функции. Для этого следует учесть следующее правило: формула содержит столько слагаемых, сколько узлов в таблице; каждое слагаемое – это произведение дробного коэффициента на соответствующее значение yi; числитель коэффициента при yi содержит произведение разностей
25
х со всеми узлами кроме при х= xi .
x |
, |
i |
|
азнаменатель полностью повторяет числитель
Используя приведенные правила, получим формулы Лагранжа для двух узлов (n=1) - линейная интерполяция:
L |
|
(x x |
) |
y |
|
|
(x x |
0 |
) |
y , |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
(x |
|
x |
|
) |
|
0 |
|
(x |
|
x |
|
|
) |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для трех узлов (n=2) - квадратичная интерполяция:
(3.2-6)
L |
|
|
(x x )(x x |
|
) |
|
y |
|
|
(x x |
|
)(x x |
|
) |
y |
|
(x x |
|
)(x x |
) |
|
y . |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
(x |
|
x )(x |
|
x |
|
) |
|
0 |
|
(x |
x |
|
)(x1 x |
|
) |
1 |
|
(x |
|
x |
|
)(x |
|
x |
) |
2 |
|||
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
2 |
0 |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(3.2-7)
Оценку погрешности формулы Лагранжа определяют исходя из приближенного равенства
R |
| f(x) L |
m |
(x) | | L |
(x) L |
m |
(x) |, |
m |
|
|
m 1 |
|
где m – число узлов, используемое в формуле.
Для того, чтобы уменьшить погрешность интерполяции, используется прием перенумерации узлов исходной таблицы. Перенумерация узлов начинается с точки х0, которая расположена наиболее близко к искомой точке х (точке интерполяции), выбирается так, чтобы точка х принадлежала отрезку [х0, х1], а далее узлы выбираются по возможности симметрично относительно точки х0. Такой прием позволяет уменьшить степень интерполяционного полинома для достижения требуемой точности (т.е. не использовать все заданные узлы).
Пример 3.2-1.Пусть функция y = f(x) |
задана таблично: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.2-1 |
|||
|
xi |
|
|
|
1 |
1.2 |
|
1.4 |
|
1.6 |
|
1.8 |
|
|
y i |
|
|
|
0 |
-0.16 |
|
-0.24 |
|
-0.24 |
|
-0.16 |
|
Требуется с использованием формулы Лагранжа вычислить |
|||||||||||||
значение f(x) в точке x = 1.45. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Перенумеруем узлы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x0 = 1.4 |
y0 =-0.24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x1 |
= 1.6 |
y1 |
= -0.24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
= 1.2 |
y2 |
= -0.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х3 |
= 1.8 |
y3 |
= -0.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x4 |
= 1.0 |
y4 |
= 0.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
Для приближенного вычисления значения функции воспользуемся формулами линейной и квадратичной интерполяции:
При n + 1 = 2 используем узлы x0 и x1
L |
|
1 |
|
(1.45 1.6) |
( 0.24) |
|
(1.45 1.4) |
( 0.24) |
|
|
(1.4 1.6) |
(1.6 1.4) |
|||||
|
|
|
|
0.24
.
При n +1 = 3используем узлы x0 , x1 и x2
L |
|
|
(1.45 1.6)(1.45 1.2) |
( 0.24) |
|
(1.45 |
1.4)(1.45 1.2) |
( 0.24) |
|
(1.45 |
1.4)(1.45 1.6) |
( 0.16) |
0.2475. |
||
2 |
(1.4 |
1.6)(1/ 4 1.2) |
(1.6 |
1.4)(1.6 1.2) |
(1.2 |
1.4)(1.2 1.6) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для оценки погрешности используем соотношение
R (x) | L |
2 |
L |
| 0.031875. |
1 |
1 |
|
Если полученная величина соответствует заданной погрешности (например, =0.1), то вычисления прекращают. Если <Rn, то количество узлов увеличивают. Вычисления повторяют до тех пор, пока не выполнится условие Rn≤ . Если в формуле были использованы все точки, заданные таблицей, то оценить погрешность не представляется возможным.
Если, в соответствии с условиями поставленной задачи, требуется найти значения функции не в одной, а в нескольких точках, то рекомендуется сначала провести преобразования формулы и получить многочлен в явном виде, а затем подстав в соответствующую формулу значения функции в заданных узлах:
L2 |
(x) |
(x 1.6)(x 1.2) |
( 0.24) |
(x 1.4)(x 1.2) |
( 0.24) |
|
(x 1.4)(x 1.6) |
( 0.16) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(1.4 |
1.6)(1.4 |
1.2) |
(1.6 |
1.4)(1.6 |
1.2) |
(1.2 1.4)(1.2 1.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=
2 3x x2
3.3. Интерполяционные формулы Ньютона
Рассмотрим случаи, когда равноотстоящих узлах так, что x
интерполируемая функция y=f(x) задается в i = x0 +ih, где h – шаг интерполяции, а i = 0,
1, …, n. В этом случае для нахождения интерполяционного многочлена могут применяться формулы Ньютона, которые используют конечные разности.
3.3.1. Конечные разности
27
Конечной разностью первого порядка называется разность yi=yi+1-yi,
где yi+1= f(xi+h) и yi = f(xi). Для функции, заданной таблично в (n+1) узлах, i = 0, 1, 2, …, n, конечные разности первого порядка могут быть вычислены в
точках 0, 1, 2,…, n-1 следующим образом:
y |
0 |
y |
1 |
y |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
y |
1 |
y |
2 |
y , |
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
....................... |
||||||||||
y |
n 1 |
y |
n |
y |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
Используя конечные разности первого порядка, можно получить конечные разности второго порядка:
2 y0 y1 y0 ;
2 y1 y2 y1;
.......................... |
|
||||||
|
2 |
y |
|
y |
|
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
n 1 |
|
n 2 |
Отметим, что любые конечные разности можно вычислить через значения функции в узлах интерполяции, например:
|
y |
|
y y |
|
(y |
|
y ) (y y |
|
) y |
|
2y y . |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
0 |
(3.3-1)
Для конечной разности k-го порядка в узле с номером iсправедлива формула, позволяющая вычислять конечные разности с помощью таблицы конечных разностей:
y |
|
y |
|
|
y |
|
|
k |
|
k 1 |
|
|
k 1 |
|
. |
i |
|
|
i 1 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что по величине конечных разностей можно сделать вывод о степени интерполяционного полинома, описывающего таблично заданную функцию. Если для таблицы с равноотстоящими узлами конечные разности k-го порядка постоянны или соизмеримы с заданной погрешностью, то функцию можно представить многочленом k-й степени.
Рассмотрим, например, таблицу конечных разностей для многочлена y=x2-3x+2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.3-1 |
||
|
x |
|
|
y |
|
|
y |
|
|
2y |
|
|
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
0.0 |
|
|
-0.16 |
|
|
0.08 |
|
|
0 |
|
|
1.2 |
|
|
-0.16 |
|
|
-0.08 |
|
|
0.08 |
|
|
0 |
|
|
1.4 |
|
|
-0.24 |
|
|
0 |
|
|
0.08 |
|
|
|
|
|
1.6 |
|
|
-0.24 |
|
|
0.08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
1.8 -0.16
В данном примере конечные разности все конечные разности второго порядка равны 0.08. Это говорит о том, что функцию, заданную таблично, можно представить многочленом второй степени.
Введя понятие конечных разностей, рассмотрим еще две формы записей интерполяционных полиномов.
3.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть функция y = f(x) задана в n+1 равноотстоящих узлах
x |
i |
|
, где i =
0, 1, 2, …, n, с шагом h. Требуется найти интерполяционный многочлен Pn(x) степени не выше n, удовлетворяющий условию:
Pn(xi) = yi, i =0, 1, 2, …, n . |
(3.3-2) |
Будем искать интерполяционный многочлен вида: |
|
Pn(x) =a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+ …+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1), |
(3.3-3) |
где аi – неизвестные коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции
(i =0,1,2,…,n).
Для нахождения коэффициентов формулы Ньютона аiбудем подставлять в (3.3-3) значения х, совпадающие с узлами интерполяции, требуя выполнения условия (3.3-2).
Пусть х = x0, тогда, согласно (3.3-2), Pn(x0) =y0 = a0. Следовательно,
a0=y0.
Пусть х = x1, тогда
Pn(x1) = y1 = a0+a1(x1-x0) = y0 +a1(x1-x0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.3-4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из равенства (3.3-4) следует, что a1 |
y |
y |
|
|
y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
0 |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь пусть х = х2 , тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
P (x |
) y |
|
a |
a (x |
-x |
) a |
(x |
-x |
)(x |
|
-x ) y |
|
|
y |
0 |
2h a |
|
2h2. |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
0 |
2 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражая неизвестный коэффициент, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
2 y |
|
y |
|
|
y |
|
2(y |
|
y |
|
) y |
|
|
|
y |
|
|
2y |
|
y |
|
|
2 |
y |
|
|
|
||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
2 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2h |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжая подстановку, можно получить выражение для любого коэффициента с номером i:
29
|
|
y |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
a |
|
|
0 |
, |
i 0,1...,n. |
|
|
i |
|||
i |
|
|
|
|
|
|
i! h |
|
|
Подставив найденные значения коэффициентов в (3.3-4), получим первую интерполяционную формулу Ньютона:
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
P (x) y |
|
|
|
|
(x x |
|
) |
2 |
|
|
(x x |
|
)(x x ) ... |
n |
|
|
(x x |
|
)...(x x |
|
). |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
0 |
|
1!h |
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
1 |
|
n |
|
0 |
|
n 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2!h |
|
|
|
|
n!h |
|
|
|
|
|
|
(3.3-5)
Воспользуемся этой формулой, как одной из возможных форм записи интерполяционного многочлена второй степени.
P (x) y |
|
|
y |
0 |
(x x |
|
) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
1!h |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
2!h |
|
(x x |
0 |
)(x |
|
|
x |
). |
1 |
|
(3.3-6)
Тогда для вычисления значения функции, заданной |
табл. 3.3-1, при |
||
х=1.45: |
|
|
|
P(1.45)= -0.24 + |
0 |
0.08 |
-1.6)= -0.2475. |
(1.45 -1.4)+ |
(1.45 -1.4)(1.45 |
||
2 |
1×0.2 |
2 × 0.04 |
|
|
|
Отметим, что при использовании первой интерполяционной формулы Ньютона целесообразно выбирать х0близко к точке интерполяции (интерполяция вперед). Это обеспечивает более высокую точность при фиксированном числе узлов. Запись интерполяционного многочлена в виде первой формулы Ньютона позволяет учитывать дополнительные узлы в правой части таблицы, уточняя ранее полученный результат, без пересчета остальных слагаемых.
Введя обозначение:
преобразования вида:
|
q |
x x |
0 |
, |
x x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
h |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
x x |
0 |
h |
q 1; |
||
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
h |
|
|
h |
|
|
|
qh x
и
x |
2 |
|
|
h |
|
проведя несложные
q 2;.....; |
x x |
n |
q n 1, |
|
|||
|
|
|
|
|
h |
|
|
приведем (3.3-5) к виду:
P (x) P (x |
|
hq) y |
|
y |
q |
2y |
0 |
q(q 1) ... |
ny |
0 |
q(q 1)...(q n 1). |
(3. 3-7) |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||||||||
n |
n |
|
0 |
|
2! |
|
|
n! |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это второй вид записи формулы Ньютона для интерполирования вперед. Она применяется для интерполяции f(x) в окрестностях начального значения х0, где q – достаточно мало по абсолютной величине.
Если n=1, то из (3.3-6) получаем формулу линейной интерполяции
P (x) y |
0 |
y |
q. |
1 |
0 |
|
Если n=2, то получаем формулу квадратичной (или параболической)
интерполяции
P2 (x) y0 y0q 2y0 q(q2 1).
30