![](/user_photo/_userpic.png)
Пересдача 2021 / tasks
.docx№1
Функция задана таблицей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить
по формуле Симпсона.
Решение:
Для использования формулы Симпсона необходимо найти, например,
- для этого нужно решить задачу интерполяции для точки
. Воспользуемся формулой Лагранжа.
Перенумеруем узлы так, чтобы точка лежала между узлами
и
, далее добавим узлы симметрично точке
:
Запишем и рассчитаем интерполяционные многочлены Лагранжа 1-й, 2-й и 3-й степени при :
По
факту для этой табличной функции
достаточно рассчитать только
,
а вообще по канону методички нужен
;
нет смысла считать все эти многочлены,
нужен только один.
Если в
не подставлять конкретное значение
,
то получится функция, описывающая
табличную (в случае с
будет уже что-то другое, потому что в
таблице квадратичная зависимость, а в
будет кубическая).
Перепишем таблицу для
:
Воспользуемся формулой Симпсона:
, где
№2
Функция задана таблицей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить по формуле трапеций.
Решение:
Отрезок
разобьём на
равных отрезка.
Воспользуемся формулой трапеций:
, где
№3
Функция задана таблицей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить по формуле правых и левых прямоугольников.
Решение:
Отрезок разобьём на равных отрезка.
Воспользуемся формулой левых прямоугольников:
Воспользуемся формулой правых прямоугольников:
Запишем формулу средних прямоугольников:
Получим интерполяционный многочлен в явном виде, воспользовавшись формулой Лагранжа. Перенумеруем узлы так, чтобы точка лежала между узлами и , далее добавим узлы симметрично точке :
Запишем и рассчитаем интерполяционный многочлен Лагранжа 2-й степени (возможно, попросят посчитать и 3-ю степень):
Воспользуемся формулой средних прямоугольников:
№4
Функция задана таблицей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить задачу интерполяции в точке с использованием формулы Лагранжа. Выполнить 2 итерации и проверить полученную точность.
Решение:
Перенумеруем узлы так, чтобы точка лежала между узлами и , далее добавим узлы симметрично точке :
Запишем и рассчитаем интерполяционные многочлены Лагранжа 1-й и 2-й степени при :
Оценим погрешность вычислений:
№5
Функция задана таблицей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить задачу
интерполяции в точке
с использованием формулы Ньютона.
Выполнить 2 итерации и проверить
полученную точность.
Решение:
Заполним таблицу конечных разностей:
(конечные разности второго порядка равны между собой, поэтому таблично заданную функцию можно представить многочленом второй степени)
Запишем первую формулу Ньютона:
Эту формулу можно записать и в другом виде:
Рассчитаем интерполяционные многочлены Ньютона 1-й и 2-й степени при :
Оценим погрешность вычислений:
Также погрешность можно рассчитать по приближённой формуле:
При
получим
№6
Функция
интерполируется многочленом первой
степени на отрезке
.
Оценить погрешность интерполяции на
отрезке.
Решение:
Для интерполяции с помощью многочлена Лагранжа первой степени достаточно 2-х узлов: и . Пусть
. Составим таблицу:
Найдём многочлен Лагранжа 1-й степени в явном виде:
Погрешность интерполяции определяется по формуле:
В данном случае погрешность можно оценить следующим образом:
Добавим узел в точке
, чтобы рассчитать
, и составим таблицу:
Рассчитаем в явном виде:
Оценим погрешность в точке :
№7
Интерполируемая функция задана таблицей:
Найти интерполяционный многочлен путём решения системы линейных уравнений (используя основное свойство интерполяционного многочлена).
Решение:
Требуется найти
- коэффициенты, зависящие только от узлов текущего значения ;
Запишем и решим систему уравнений:
Найдём
:
Проверим правильность расчётов:
№8
Найти решение
дифференциального уравнения
в точке
методом Эйлера*. Сделать 2 итерации и
оценить точность. Начальные условия:
.
Решение:
Решим дифференциальное уравнение:
При :
Можно решить дифференциальное уравнение иначе:
Пусть
, на отрезке
По формуле Ньютона-Лейбница:
Отсюда общий вид формулы Эйлера**:
Решим дифференциальное уравнение методом Эйлера на отрезке при
:
Погрешность метода Эйлера:
*Метод Эйлера называется методом Рунге-Кутты 1-го порядка.
**В методе Эйлера
используется допущение, что на интервале
производная исходной функции постоянна
и равна своему значению в точке
.
Отсюда по формуле прямоугольников
или
Отсюда
выводится общий вид формулы Эйлера.
№12
Найти решение дифференциального уравнения в точке методом Рунге-Кутты 2-го порядка. Проделать 1 итерацию. Начальные условия: .
Решение:
Решим дифференциальное уравнение: При : Можно решить дифференциальное уравнение иначе:
Пусть , на отрезке
Вычисление значения искомой функции методом Рунге-Кутты 2-го порядка проводится в 2 этапа. Сначала вычисляют вспомогательную величину
Затем значение производной искомой функции в точке
используется для вычисления окончательного значения функции:
Пусть , на отрезке
Решим дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутты 2-го порядка на отрезке при :
Погрешность метода Рунге-Кутты оценивается следующим образом:
, где
- порядок метода Рунге-Кутты. Эта формула также называется правилом Рунге.