Econometrics

(незалежною) змінною. Заробітна плата є ендогенною (залежною) змінною у другому рівнянні і одночасно — екзогенною (незалежною) змінною у першому. Така взаємозалежність цих двох економічних показників є реальною, й економетрична модель описує цю залежність, не виключаючи решту чинників, які також впливають на продуктивність праці та зарплату. З рівнянь випливає, що між пояснювальними змінними і залишками параметрів моделі існує залежність. Тому застосовувати метод 1МНК недоцільно.

Специфікуємо модель у лінійній (структурній) формі

Y1=a12Y2+b10+b11X1+b12Х2+b13X4+u1;

Y2=а21Y1+b20+b22Х2+b23Х3+b24Х4+u2.

На основі вибіркових даних розрахункову модель можна записати так:

Ідентифікуємо рівняння моделі в структурній формі, перевіривши для кожного рівняння співвідношення:

ks–1 m–ms,

де ks — кількість ендогенних змінних у рівнянні; m — загальна кількість екзогенних змінних у моделі; ms — кількість екзогенних змінних в s-му рівнянні.

Перше рівняння: 2–1 4–3; 1=1.

Рівняння точно ідентифіковане.

Друге рівняння: 2–1 4–3; 1=1.

Рівняння точно ідентифіковане.

У зведеній формі економетрична модель набирає вигляду

Як бачимо, зведена модель включає регресійні рівняння, що характеризують взаємозалежність кожної ендогенної змінної зі всіма екзогенними змінними.

474

Оцінюємо параметри зведеної форми моделі 1МНК на основі даних табл. 12.3.

Економетрична модель у зведеній формі запишеться так:

R2=0,856 F=17,92.

Знайдемо розрахункові значення продуктивності праці Y1 (на

основі першого) і зарплати Y2 (на основі другого рівняння). Результати подамо у вигляді табл. 12.4.

Таблиця 12.4

побудови рівняння продуктивності праці запишеться у вигляді табл. 12.5:

475

Таблиця 12.5

Маємо масив змінних для побудови рівняння зарплати (таб-

лиця 12.6):

Таблиця 12.6

Звідси економетрична модель у структурній формі набирає вигляду:

476

Коефіцієнти кореляції та критерій Фішера свідчать, що рівняння економетричної моделі достовірні. Але в рівнянні продуктивності

0,164, решта — статистично незначущі. У регресійному рівнянні

зарплати статистично значущий лише один параметр € = 3,067,

решта — статистично незначущі.

b22

У реальних дослідженнях ті екзогенні змінні, оцінки параметрів яких незначущі, вилучають або, збільшивши кількість спостережень, знову оцінюють параметри моделі, тобто змінюють специфікацію моделі.

Розрахуємо коефіцієнти еластичності чинників, які ввійшли до кожного рівняння моделі.

Коефіцієнти еластичності показують, що зі зростанням зарплати на 1% продуктивність праці зростає на 0,687%, при збільшенні фондомісткості на 1% продуктивність праці зростає на

477

0,207%. Збільшення плинності робочої сили на 1% може знизити рівень продуктивності праці на 0,08%. Таку саму приблизно залежність визначає зміна стажу працюючих.

Аналізуючи взаємозв’язок, що базується на коефіцієнтах еластичності, необхідно пам’ятати, що решта екзогенних змінних, які не пов’язані з цим коефіцієнтом, не змінюються. Загальна еластичність показує: якщо всі екзогенні змінні зростуть на 1%, то продуктивність праці зросте на 0,757%.

Коефіцієнти еластичності рівняння характеризують такий взаємозв’язок:

якщо продуктивність праці зростає на 1%, а решта чинників сталі, то заробітна плата знижується на 0,11%;

якщо плинність робочої сили зростає на 1%, а решта чинників сталі, то зарплата зменшується на 0,07%;

якщо втрати робочого часу збільшуються на 1%, а решта чинників сталі, то зарплата зменшується на 0,11%;

якщо стаж працюючих збільшується на 1%, а решта чинників сталі, то зарплата збільшується на 0,06%.

Сумарний коефіцієнт еластичності свідчить про те, що при одночасному зростанні всіх екзогенних змінних на 1% зарплата збільшується на 0,578%.

Оцінимо параметри структурної економетричної моделі, ско-

риставшись оператором 2МНК:

де Y1 — матриця поточних ендогенних змінних, тобто таких, які містяться у правій частині рівняння; X — матриця всіх екзогенних змінних моделі; Х1 — матриця екзогенних змінних того рівняння, яке оцінюється; Y — матриця тих ендогенних змінних, які

містяться в лівій частині рівняння; A — вектор оцінок параметрів

моделі при екзогенних змінних; B — вектор оцінок параметрів моделі при поточних ендогенних змінних.

Застосуємо наведений щойно оператор 2МНК для оцінювання параметрів рівняння зарплати. Запишемо матриці змінних для цього рівняння відповідно до оператора:

478

479

480

481

X Y 50,59677 51,87419 51,83715 53,44492961 54,0568 54,82433 55,1977 53,73371 56,96214 61,7115 63,64387 63,69624 63,38007 65,39404 64,72541 64,8422 64,07987 .

Скориставшись вектором оцінок параметрів моделі, запишемо регресійне рівняння зарплати, оцінене за допомогою 2МНК:

Y2 =107,925+3,066Y1–2,351X2–7,638X3+1,474X4.

Порівняння оцінок параметрів цього рівняння з оцінками рівняння заробітної плати, здобутого за допомогою 2МНК раніше, свідчить про їх ідентичність. Звідси очевидно, що обидва підходи реалізують 2МНК.

12.7. Трикроковий метод найменших квадратів (3МНК)

Розглянуті вище два методи — непрямий і двокроковий методи найменших квадратів застосовуються для оцінки параметрів кожного окремого рівняння моделі. Трикроковий метод найменших квадратів призначений для одночасної оцінки параметрів всіх рівнянь моделі.

Зельнер і Гейл [2] запропонували трикроковий метод найменших квадратів, який за певних обставин є більш ефективним, ніж двокроковий.

Розглянемо загальну лінійну модель, яка містить k взаємозв’язаних ендогенних і m екзогенних змінних. Запишемо s-те рівняння цієї моделі у вигляді

482

Помножимо рівняння (12.38) зліва на X , де X — матриця всіх екзогенних змінних моделі розміром n×m

Для цієї моделі коваріаційна матриця залишків має вигляд

де у2ss — стала дисперсія залишків s-го рівняння, а у2ss X X — дис-

персія залишків системи рівнянь моделі. З урахуванням (12.41) оцінка параметрів моделі (12.40) може бути виконана узагальненим методом найменших квадратів.

Запишемо систему рівнянь (12.38) у вигляді такої матричної форми:

Матриця коваріацій для вектора залишків, який входить в рівняння (12.43), буде мати вигляд:

оцінки параметрів системи (12.43). Але для того щоб дістати ці

483