Econometrics

Умоделях першого виду всі невідомі величини подаються у вигляді явних функцій від зовнішніх умов і внутрішніх параметрів об’єкта.

Умоделях другого виду невідомі визначаються одночасно із

систем співвідношень і-го виду.

В імітаційних моделях невідомі величини визначаються також одночасно із вхідними параметрами, але конкретний вигляд співвідношень невідомий.

5.Функціональні моделі описують поводження об’єкта так, що, задаючи значення «входу» X, можна дістати значення «виходу» Y без залучення інформації про параметри A, тобто Y =A(X). Побудувати функціональну модель — означає знайти оператор A, який пов’язує X і Y.

6.Якщо функціональна модель поряд з екзогенними змінними X містить стохастичну складову u, тобто Y =f( X, u ), то вона належить до класу економетричних моделей. Оскільки величина Y залежить від стохастичної змінної u, то вона є стохастичною, аотже, економетрична модель також є стохастичною.

7.Побудова економетричної моделі можлива за таких умов:

1)наявність достатньо великої сукупності спостережень вхідних даних;

2)однорідність сукупності спостережень;

3)точність і достовірність вихідних даних; 4)висування гіпотези про набір змінних і структуру зв’язків.

8.Сукупність спостережень можна подати у вигляді упорядкованого набору (матриці) даних з параметрами n, m, T, де n — кі-

лькість одиниць сукупності (i 1, n); m — кількість ознак, які

описують кожну одиницю ( j 1, m); T— проміжок часу, за який

вивчається ознака певного спостереження. За способом формування розрізняють три види вибірок: часову, просторову і прос- торово-часову. Просторова сукупність спостережень вивчається в статиці, її можна зобразити у вигляді матриці розміром n m. Часова вибірка містить набір значень ознак функціонування окремого об’єкта в динаміці, тобто по суті складається з двочи багатовимірного часового ряду. Просторово-часова вибірка є комбінацією просторової і часової вибірок.

9.Поняття однорідності сукупності спостережень охоплює якісну і кількісну однорідність. Під першою треба розуміти однорідність, яка визначається однотипністю економічних об’єктів, їх однаковою якістю та певним призначенням, а під другою — однорідність групи одиниць сукупності, що визначається на підставі кількісних ознак.

26

10.Щоб забезпечити порівнянність ознак спостережень у просторі та часі, необхідно мати:

1)однаковий ступінь агрегування;

2)однакову структуру одиниць сукупності;

3)одні й ті самі методи розрахунку показників у часі;

4)однакову періодичність обліку окремих змінних;

5)порівнянні ціни та інші однакові економічні умови.

11.Формуючи сукупність спостережень для побудови економетричної моделі, необхідно звертати увагу на можливість існування помилок в економічній інформації. Якщо немає змоги позбутися цих помилок, то необхідно застосувати спеціальні методи оцінювання параметрів економетричної моделі.

12.Вибір змінних моделі передбачає:

1)визначення набору змінних, які описують процес функціонування досліджуваних об’єктів;

2)аналіз структурних зв’язків між окремими змінними; 3)вибір раціонального типу економетричної моделі. 13.Економетричні моделі описують вплив багатьох чинників на

економічні процеси та явища. При цьому для відображення цих зв’язків може використовуватись не одне рівняння, а їх система. Якщо економетрична модель характеризує зв’язок двох змінних, одна з яких є результативною (залежною), то така модель називається простою. Важливою задачею є вибір раціонального типу економетричної моделі.

14.Конкретна аналітична форма взаємозв’язку між економічними показниками вибирається на підставі змістовного тлумачення цього зв’язку. Найпростішою є лінійна форма між двома змінними:

Y=a0+a1X,

де a0 і a1 — невідомі параметри; Y — залежна змінна; X — незалежна змінна.

Можливі й інші форми залежності між двома змінними, наприклад:

Y a0ea1X ; Y a0 X a1 ; Y a0 aX1 .

15.Наведені форми залежності кількісно описують взаємозв’язок між економічними показниками лише в середньому, акожне індивідуальне значення відрізнятиметься від обчисленого за

27

допомогою функції, оскільки на цей зв’язок впливають й інші фактори, серед яких є випадкові, не враховані у вимірюванні.

16.Щоб урахувати вплив факторів, що не входять до економетричної моделі, вводиться стохастична складова. Математичний аналіз цієї складової дає змогу зробити висновок про те, чи можна вважати її випадковою величиною, чи вона містить систематичну частину відхилень, яка може бути зумовлена наявністю тих чи інших помилок у моделюванні. Економетрична модель у такому разі має вигляд

Y = a0+a1X+u.

17.У класичній лінійній економетричній моделі змінна u інтерпретується як випадкова змінна, що має розподіл з математичним

сподіванням, що дорівнює нулю, і сталою дисперсією u2 . Це дає

змогу розглядати змінну u як стохастичне збурення (залишки помилки, відхилення). Згідно з центральною граничною теоремою стохастична складова економетричної моделі розподілена за нормальним законом.

18.Якщо економетрична модель вимірює зв’язок між двома змінними, то кожну пару спостережень над цими змінними можна подати у двовимірній системі координат. У результаті дістаємо кореляційне поле точок. Згідно з гіпотезою про лінійність зв’язку через кореляційне поле точок можна провести безліч прямих ліній, які різняться своїми параметрами a0 і a1.

19.Щоб певна пряма адекватно описувала фактичну залежність, необхідно застосувати такий метод оцінювання параметрів моделі a€0 і a€1 , щоб відхилення фактичних значень від розрахун-

кових були мінімальними.

У цьому разі мінімізації підлягає сума квадратів відхилень (залишків):

min n ui2 a€0 , a€1 .i 1

Це є сутністю методу найменших квадратів (1МНК). 20.Необхідною умовою мінімізації залишків є рівність нулю

частинних похідних цієї функції за кожним із параметрів a€0 і a€1 . У результаті маємо систему нормальних рівнянь

28

квадратів такі, що лінія регресії проходить обов’язково через точку середніх значень (x, y) , то оцінки цих параметрів моделі мо-

жна дістати так:

22.Для фактичних значень незалежної змінної модель має вигляд:

Y = a0 + a1X + u,

а для розрахункових:

Тому вектор залишків обчислюється так:

u Y Y .

Незміщена оцінка дисперсії залишків подається так:

23.Задаючи певну функцію закону розподілу залишків, оцінки параметрів моделі a€0 , a€1 і €u2 можна знайти за методом ма-

ксимальної правдоподібності. Якщо залишки розподілені за нормальним законом, то функція правдоподібності запишеться так:

29

методом максимальної правдоподібності та істинним значенням дисперсії подається так:

Воно має розподіл 2 з n–2 ступенями свободи і розподілене незалежно від a~0 іa~1.

1.З яких елементів складається математична модель? 2.Назвіть типи математичних моделей. Чим вони різняться?

3.До якого типу математичних моделей належить економетрична модель?

4.Які особливості має економетрична модель?

30

5.Як треба розуміти сукупність спостережень та її однорідність? 6.Чим забезпечується порівнянність даних у просторі та часі?

7.Як визначається набір змінних для побудови економетричної моделі?

8.Наведіть кілька прикладів економетричних моделей.

9.Дайте тлумачення випадкової складової економетричної моделі.

10.Які методи застосовуються для оцінювання параметрів класичної регресійної моделі?

11.У чому сутність методу найменших квадратів (1МНК)? 12.Запишіть альтернативні варіанти оцінювання параметрів моделі методом 1МНК.

13.Як можна інтерпретувати параметри простої економетричної моделі?

14.Визначте дисперсію залишків економетричної моделі.

15.Чим відрізняється метод максимальної правдоподібності від методу найменших квадратів?

16.Запишіть функцію правдоподібності за умови, що залишки розподілені за нормальним законом.

17.Запишіть співвідношення між оцінкою дисперсії за методом максимальної правдоподібності та істинним значенням дисперсії.

18.Знайдіть оцінки параметрів моделі Y = a0+a1X+u 1МНК, якщо задані такі значення Y і X:

19.Визначте залишки ui економетричної моделі з попереднього завдання.

20.Знайдіть дисперсію залишків завдання 19.

21.Використовуючи дані завдання 18, знайдіть оцінки параметрів моделі за методом максимальної правдоподібності. Порівняйте ці оцінки з оцінками, знайденими за методом 1МНК.

2.8. Основні терміни і поняття

Математична модель Економетрична модель Екзогенні змінні Ендогенні змінні Проста економетрична модель Стохастична складова Сукупність спостережень Метод найменших квадратів Функція правдоподібності Метод макси-

31

мальної правдоподібності Оцінка дисперсії залишків Система нормальних рівнянь

32

Розділ 3

ЕЛЕМЕНТИ МАТРИЧНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ

3.1. Означення матриці. Основні види матриць

Розглянемо множину m×n дійсних чисел, записаних у вигляді прямокутної таблиці з m рядків і n стовпців:

Означення 3.1. Матрицею називають таблицю елементів аij, яка складається з m рядків і n стовпців.

Позначаються матриці літерами A, B, C тощо.

Числа aij називаються її елементами. Індекси i та j елемента aij позначають відповідно номер рядка та стовпця, на перетині

яких міститься даний елемент. Наприклад, елемент a23 міститься у другому рядку і третьому стовпці.

Розглянемо матрицю

яка має два рядки (m=2) і три стовпці (n=3), тобто розміром 2 3. Загалом, якщо матриця має m рядків і n стовпців, розмір такої матриці є (m × n).

Означення 3.2. Якщо в матриці А кількість рядків m дорівнює кількості стовпців n (m=n), її називають квадратною по-

рядку m (або n). Якщо m n, то матриця А є прямокутною розміром (m?n).

Матриця А в (3.2) є прямокутною розміру 2×3. Розглянемо основні види матриць.

46

Означення 3.3. Матриця-стовпець — це прямокутна мат-

риця порядку m 1:

Означення 3.4. Матриця-рядок — це прямокутна матриця порядку 1 × n:

Матриці (3.3) і (3.4) можна розглядати як вектори.

Означення 3.5. Матриця, усі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою:

Розглянемо квадратну матрицю порядку n×n.

Означення 3.6. Квадратна матриця, в якої всі елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діа-

гональною, тобто

47

Означення 3.7. Квадратна матриця En є одиничною n-го порядку, якщо всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а решта елементів — нулю, тобто

Скорочено: квадратна матриця I=(aij) є одиничною, якщо aij=0 для i j та aij=1 для i=j.

Означення 3.8. Квадратна матриця A=(aij) є трикутною, якщо всі її елементи над головною діагоналлю (aij=0, коли i<j) або під цією діагоналлю (aij=0, коли i>j) дорівнюють нулю:

Означення 3.9. Якщо в матриці А (3.1) поміняємо місцями відповідно елементи рядків на елементи стовпців (або навпаки), дістанемо транспоновану матрицю (позначається A або

Транспонуючи вектор-стовпець, дістанемо вектор-рядок і навпаки, асаме:

48