Econometrics

вибір найбільш ефективної моделі — кривої зростання;

чисельне оцінювання параметрів моделі;

визначення адекватності моделі;

оцінювання точності моделі;

розрахунок точкового й інтервального прогнозів;

верифікація прогнозу.

Урозд. 11.5 показано реалізацію перших п’яти етапів. Розглянемо два завершуючих етапи процесу прогнозування.

11.6.1. Розрахунок точкового й інтервального про-

гнозів. Прогноз за трендовими моделями містить дві складові:

точковий й інтервальний.

Точковий прогноз визначається окремим показником прогнозованого процесу, коли в рівняння його трендової моделі підставлено значення часу t, що відповідає періоду упередження t=n+1, n+2,...,n+L.

Період упередження (або прогнозований період) визначає період часу від моменту, для якого є останні статистичні дані про об’єкт, до моменту його прогнозованого значення.

Його довжина залежить від специфіки об’єкта прогнозування, а саме від часу його функціонування, інтенсивності зростання показників, довготривалості дії виявлених тенденцій і закономірностей.

Інтервальний прогноз розраховується визначенням довірчого інтервалу — такого інтервалу, де з певною імовірністю можна очікувати появу фактичного значення прогнозованого економічного показника. Розрахунок довірчих інтервалів у прогнозуванні з використанням кривих зростання базується на висновках і формулах теорії регресії (див. розд. 4).

Методи, які розроблені для статистичних сукупностей, дозволяють розрахувати довірчий інтервал, що залежить від стандартної помилки оцінки прогнозуючого показника, періоду упередження, кількості рівнів в часовому ряду і рівня значущості α.

Стандартна (середня квадратична похибка) Sŷ оцінки прогнозованого показника визначається за формулою:

38

де yt — фактичні значення рівнів часового ряду для періоду t; ŷt— розрахункові значення відповідного показника за кривою зростання; n — кількість рівнів ряду; m — кількість параметрів моделі.

У випадку прямолінійного тренду, розраховуючи інтервал до- регресіївіри Uy,: часто використовують аналогічну формулу для парної

де L — період упередження;

ŷn + L — точковий прогноз за моделлю на (n+L)-й період часу; колиSŷ m—=2;стандартна похибка, розрахована за формулою (11.11),

tα — табличне значення критерію Стьюдента для рівня значущості α.

Якщо вираз

позначити через K, то формулу (11.12) для інтервалу довіри за-

Іноді для розрахунку інтервалів довіри прогнозу відносно лінійного тренду застосовують наведену раніше формулу (11.12) в дещо іншому вигляді, а саме:

де t — порядковий номер рівня ряду (t=1,2,…n); підсумовування ведеться за всіма спостереженнями; tL відповідає n+L-му періоду часу, для якого робиться прогноз; t — час, що відповідає сере- дині періоду спостережень для вихідного ряду, наприклад, t =(n+1):2.

Формулу (11.13) можна дещо спростити, якщо перенести початок розрахунку часу на середину періоду спостережень* ( t =0).

Тоді

Розрахунок інтервалів довіри прогнозу відносно тренду, що має вид полінома другого чи третього порядку, наводиться далі:

Аналогічно розраховуються інтервали довіри для експоненціальної кривої зростання, а також для кривих, що мають асимптоту (модифікована експонента, крива Гомперця, логістична крива), якщо значення асимптоти відоме.

Таким чином, формули розрахунку інтервалу довіри (11.12) — (11.15) для трендових моделей різного типу відрізняються одна від одної, але кожна з них відображає динамічний характер прогнозування, тобто зростання невизначеності процесу зі збільшенням періоду упередження, що проявляється в постійному розширенні інтервалу довіри.

Незважаючи на достатньо просту процедуру виявлення точкових й інтервальний прогнозів трендових моделей, не слід їх розраховувати на великий період упередження, бо це неодмінно призведе до грубих помилок.

* Такий розрахунок наводиться в табл. 11.6 підрозд. 11.5.3.1.

40

Оптимальна довжина періоду упередження визначається окремо для кожного економічного явища з урахуванням статистичного коливання початкових даних, ґрунтуючись на змістовному міркуванні про стабільність явища. Ця довжина, як правило, не перевищує для рядів річних спостережень однієї третьої обсягу даних, а для квартальних і помісячних рядів — двох років.

Вирівнюючи часові ряди за допомогою кривих зростання, потрібно вирішувати питання і про те, якої довжини має бути ряд, що вибирається для прогнозування. Очевидно, у разі короткого динамічного ряду, тенденція може бути не виявлена. З іншого боку, досить довгий часовий ряд може охоплювати періоди з різними трендами і його описування за допомогою однієї і тієї ж кривої зростання не дасть позитивних результатів. Тому рекомендується наступне. Якщо немає змістовних якісних і кількісних міркувань стосовно динаміки того чи іншого явища, то для його прогнозування слід обирати ряди більш-менш довгих часових періодів.

Якщо динаміка економічного явища має циклічну складову, слід брати період ряду від середини першого до середини останнього періоду циклу.

Коли ряд охоплює періоди з різними трендами, краще скоротити його, відкинувши найбільш ранні рівні, що стосуються іншої тенденції розвитку.

11.6.2. Верифікація прогнозу. Для екстраполяційного прогнозування економічної динаміки з використанням трендових моделей важливим є заключний етап — верифікація прогнозу.

Верифікація будь-яких дескриптивних моделей, до яких належать і трендові моделі, зводиться до зіставлення розрахункових значень за моделлю з відповідними дійсними даними певного економічного показника.

Верифікація прогнозної моделі являє собою сукупність кри-

теріїв, способів і процедур, які дають змогу, спираючись на багатосторонній аналіз, оцінити якість прогнозу.

Однак найчастіше на етапі верифікації в більшій мірі відбувається оцінка методу прогнозування, за допомогою якого був здобутий результат, ніж оцінка якості самого результату. Це пов’язано з тим, що досі не знайдено ефективного підходу до оцінки якості прогнозу.

Навіть в тих випадках, коли прогноз не справдився, не можна категорично стверджувати, що він був некорисним, оскільки дослідник, якщо він хоча б частково контролює хід подій і може впливати на економічний процес, має можливість використати прогнозну інформацію бажаним для себе способом.

41

Так, якщо дістати прогноз, що визначає небажану динаміку розвитку, дослідник може приймати дії, щоб прогноз не справдився. Такий прогноз має назву самодеструктивного.

Коли ж прогноз передбачить хід подій, котрі задовольняють користувача, то він може сприяти своїми діями збільшенню ймовірності цього прогнозу. Такий прогноз має назву саморегулюю-

чого.

Отже, показником цінності прогнозу є не тільки його достовірність, але й корисність для дослідників.

Про точність прогнозу слід вирішувати за величиною його похибки — різницею між фактичними і прогнозними значеннями показника, що досліджується. Звісно, визначити вказану різницю можна лише у двох випадках: або коли період упередження вже закінчився і відомі фактичні значення прогнозованого показника, або коли прогнозування відбулося для деякого моменту в минулому, для якого відомі фактичні дані.

У другому з названих випадків інформація ділиться на дві частини: за частиною, котра охоплює більш ранні періоди часу, відбувається розрахунок оцінок параметрів кривої зростання; друга частина ряду, більш пізня, розглядається як реалізація прогнозу. Виявлені таким чином помилки в якійсь мірі характеризують точність методики прогнозування, що була застосована.

Перевірка точності лише одного прогнозу недостатня для оцінювання якості прогнозування, бо вона може бути результатом випадкового збігу. Найбільш простою мірою якості прогнозів за умови, що є дані про їх реалізацію, буде відношення μ кількості випадків прогнозів, підтверджених фактичними даними, до загальної їх кількості, а саме:

де с — кількість прогнозів, що підтверджені фактичними даними; с1 — кількість прогнозів, не підтверджених фактичними даними.

Однак у практичній роботі проблему якості прогнозів найчастіше потрібно вирішувати, коли період упередження ще не закінчився і фактичне значення прогнозованого показника невідоме. У цьому випадку точнішою буде модель, що дає вужчі довірчі інтервали прогнозу. На практиці не завжди вдається відразу побудувати достатньо якісну модель прогнозування, тому описані в цьому розділі етапи побудови трендових моделей економічної динаміки можуть виконуватися неодноразово.

42

Розглянемо розрахунок точкового й інтервального прогнозів за трендовою моделлю, розрахованою у прикладі 11.7.

Приклад 11.8. Нехай для часового ряду, що наводиться в табл. 11.8, потрібно дати прогноз на два роки вперед (t=10; t=11).

У прикладі 11.7 розрахована економетрична модель за ліній-

ним трендом: ŷt=87,8–3,4t.

Точкові прогнози дістаємо, підставляючи в рівняння моделі значення t=10 і t=11:

ŷ10=87,8–3,4·10=53,8; ŷ11=87,8–3,4·11=50,4.

Нагадаємо, що для розрахунку довірчих інтервалів потрібно знайти середню квадратичну помилку показника, що прогнозується. Її величина була знайдена в прикладі 11.7 і дорівнювала Sŷ=1,39, а значення величини K для ряду з дев’яти рівнів можна дістати з табл. 11.8 лінійною інтерполяцією наведених значень для n=7 і n=10 для n=7, що відповідає L=2, K=2,106. Для n=10, що відповідає періоду упередження (L=2), K=1,774; для n=11 (L=2) K=1,89.

Результати розрахунку за формулою (11.12) наводяться в табл.11.9.

Отже, модель прогнозу є адекватною (див. приклад 11.7 підрозд. 11.5.4); враховуючи наведений рівень значущості α=0,20 (тобто з імовірністю 0,80), можна стверджувати, що при збереженні закономірностей, які склалися у минулому, прогнозоване значення виручки фірми на десятий і одинадцятий рік потрапляє в інтервал, утворений нижньою і верхньою межами:

51,3<53,8<56,3;

43

47,8<50,4<53,0.

11.7. Стислі висновки

1.Початковою інформацією для економетричного аналізу економічного процесу в розвитку є одновимірний часовий ряд.

2.Послідовність спостережень певного показника (ознаки),

котра впорядкована в залежності від послідовно зростаючих або спадаючих значень іншого показника, має назву одновимірного ряду динаміки.

3.Якщо ознакою, за котрою відбувається упорядкування ряду, є час, то такий ряд має назву часового.

4.Часові ряди, що характеризують економічні явища на пев-

ний конкретний момент часу, називаються моментними.

5.Якщо рівні часового ряду утворені агрегуванням за певний проміжок часу, то вони мають назву інтервальних.

6.Динамічні ряди, характер яких не змінюється з часом, називаються стаціонарними.

7.Динаміка рядів економічних явищ і процесів у загальному

випадку формується під упливом чотирьох груп факторів: довготривалі, що формують загальну тенденцію або тренд; сезонні — формують періодично повторювані коливання за певний час року того чи іншого показника; циклічні — формують зміни динаміки ряду, зумовлені дією довготривалих циклів економічної, демографічної, астрофізичної природи і т. ін.; випадкові (нерегулярні), котрі не піддаються реєстрації й обліку. Саме їхня дія на формування рівнів часового ряду обумовлює стохастичну природу ряду.

8.Однією з основних задач моделювання часових рядів є виявлення їх трендів.

9.Для моделювання тренду потрібно провести попередній

аналіз часового ряду, котрий полягає у виявленні й усуненні перш за все аномальних його значень, що може бути здійснено, наприклад, методом Ірвіна.

10. До попереднього аналізу ряду відносять також перевірку наявності тренду в динамічному ряду. Найчастіше для цього використовують такі методи: перевірка різниць середніх рівнів ряду, метод Фостера—Стюарта.

За методом перевірки різниць середніх визначають:

44

встановлена аналітично підбором потрібної функції yt=f(t). Така емпірична функція має назву кривої зростання.

13. Найбільш вживані в економічних процесах криві зростання:

крива Гомперця: yt=kabt; 0<b<1

іт. ін.

14.Існує кілька методів вибору форми тренду: візуальний (графічний), метод послідовних різниць, метод характеристик приростів і т. ін.

15.Оцінка параметрів кривих зростання відбувається за методом 1МНК, а саме: розраховується система нормальних рівнянь.

Уматричному вигляді:

T TÂ=T Y,

де T — матриця розміром (n m), n — кількість рівнів ряду; m — кількість параметрів у функції зростання; T — транспонована матриця розміром (n m) до матриці t; Y — вектор-стовпець рівнів ряду; Â — вектор-стовпець розміром (n 1) оцінок параметрів функції зростання.

Розв’язуючи систему нормальних рівнянь відносно Â, знаходимо його значення

Â=(T T)–1T Y.

16. Оцінка адекватності і точності трендових моделей охоплює наступні перевірки поетапно:

випадковості коливань рівнів залишків;

46

відповідності розподілу залишків нормальному закону;

рівності нулю математичного сподівання залишків;

незалежності значень рівнів залишків між собою.

17. Висновок про адекватність трендової моделі можна зробити тоді, коли всі чотири перевірки п.16 дають позитивні результати.

Для адекватних моделей розраховують їх точність за такими формулами:

Середнє квадратичне відхилення

де n — кількість рівнів ряду; m — кількість параметрів, що має функція зростання; yt — фактичний рівень ряду; ŷt — значення рівня ряду за трендовою моделлю.

Середня відносна помилка апроксимації

Коефіцієнт збіжності

2 yt y€t 2 .yt y 2

Коефіцієнт детермінації R2=1–φ2 і т. ін.

За цими показниками можна зробити вибір із кількох трендових моделей і обрати найбільш точну.

18.Однією з головних цілей дослідження трендових моделей

єрозрахунок прогнозів економічної динаміки.

19.Прогнозування часового ряду за кривими зростання ґрунтується на методі екстраполяції: спостерігаючи ту чи іншу зміну процесу в минулому, продовжуємо її з певною ймовірністю у майбутній період.

20.Метод екстраполяції базується на двох припущеннях:

часовий ряд дійсно має тренд;

тенденція, що виявлена у минулому періоді, не буде мати суттєвих змін у майбутньому.

21.Процес екстраполяційного прогнозування економічної динаміки за трендовими моделями складається з таких етапів:

47