Econometrics

де α — параметр для згладжування; 1–α має назву коефіцієнта дисконтування.

Використовуючи наведені щойно рекурентні співвідношення для всіх рівнів ряду, починаючи з першого, можна дістати таке співвідношення:

St=αyt+(1–α)St–1=αyt+(1–α)[αyt–1+(1–α)St–2]= αyt+α(1–α)yt–1+(1– α)2·[αyt–2+(1–α)St–2]= αyt+α(1–α)yt–1+α(1–α)2yt–2+…+α (1–α)τyt–τ+(1– α)ty0.

У загальному вигляді маємо:

тобто згладжене значення St є зваженою середньою всіх попередніх рівнів.

У практичних задачах обробки економічних часових рядів рекомендують вибирати параметри згладжування в інтервалі від 0,1 до 0,3 [28]. Більш обґрунтованих рекомендацій α поки що немає. В окремих випадках Р.Браун пропонує визначати величину стосовно α, виходячи з величини інтервалу згладжування ряду:

m2 1 , де m — інтервал згладжування ряду.

Що стосується початкового параметра S0, то в конкретних задачах його беруть або за значенням першого рівня ряду y1, або як середню арифметичну кількох перших членів ряду, наприклад y1, y2, y3:

S0 y1 y32 y3 .

Цей метод вибору значення S0 забезпечує добру відповідність загладжуваного й вихідного рядів для перших рівнів. Якщо ж останні згладжені рівні ряду, розраховані цим методом з певним параметром α, починають різко відрізнятися від відповідних значень вихідного ряду, то необхідно змінити параметр α на інший.

Перевагою цього методу згладжування є те, що не губляться як початкові, так і кінцеві рівні ряду.

Розрахунок ряду, що характеризує випуск продукції за методом експоненціального згладжування з параметром α=0,1, наведено в табл. 11.5.

18

Початкове згладжуване значення S0 здобуто як середнє значення перших рівнів ряду:

S0 S1 30 31 31 30,666 30,67; 3

S2 0,1y2 1 0,1 S1 0,1 31 0,9 30,67 30,73; S3 0,1y3 1 0,1 S2 0,1 31 0,9 30,73 30,76;

S4 0,1y4 1 0,1 S3 30,88

і т. ін.

Результати розрахунку випуску продукції, за методом експоненційного згладжування, наведені в табл. 11.5 (графа 5).

11.5.Трендові моделі за кривими зростання

11.5.1.Загальна характеристика кривих зростання.

Якщо існує певна закономірність в динаміці деякого економічного явища або процесу, то тенденція цієї зміни може бути встановлена добором потрібної функції

y(t)=f(t).

Така емпірична функція, що має назву кривої зростання, є ефективним засобом дослідження часового ряду і його прогнозування.

Щоб правильно підібрати найкращу криву зростання для моделювання економічного явища, необхідно знати особливості кожного виду кривих. Найчастіше в економіці використовуються поліноміальні, експоненціальні та S-подібні криві зростання.

Найпростіші поліноміальні криві зростання мають вигляд:

модифікована експоненціальна функція yt = k +abt;логістична крива:

19

крива Гомперця: yt = kabt; 0<b<1

іт. ін.

Параметри многочленів прямої, параболи, полінома третього порядку мають конкретну інтерпретацію, що залежить від змісту процесу, описуваного часовим рядом. Зокрема, параметр а1 характеризує швидкість зростання, а2 — прискорення зростання, а3 — зміну прискорення зростання, а0 — вільний член функції.

Парабола другого порядку описує рух із рівномірною зміною прискорення як у додатному, так і в протилежному напрямі.

Характерним для таких економічних процесів є рівноприскорене зростання або спад їх розвитку.

У параболі третього порядку приріст може змінювати свій

знак один раз або двічі.

Експоненціальна функція yt=abt описує процес зі сталим темпом зростання і сталим темпом приросту. Якщо b>1, то крива зростає зі збільшенням t, а при b<1 — спадає. Прологарифмувавши ліву і праву частини розглядуваного виразу, дістанемо; logyt=loga+tlogb. Це лінійно-логарифметична функція часу, що полегшує її розрахунок.

Процеси, що характеризуються насиченням, описуються модифікованою експонентою

де а, b — параметри і а<0, 0<b<1, k — асимптота функції.

У маркетингових дослідженнях, відбиваючи основну тенденцію у страхових, демографічних та інших розрахунках, використовують функцію Гомперця,

де а, b — додатні параметри; k — асимптота функції або

logyt=logk+bt loga.

Найчастіше розглядається функція, коли і b<1, і loga<0, тобто коли на першому етапі приріст є невеликим і повільно збільшується зі зростанням t.

На другому ж етапі приріст швидко починає зростати і після досягнення точки перегину повільно прямує до асимптотичної

20

прямої. Такою кривою описують, наприклад, динаміку показників рівня життя, моделюють показники народжуваності, смертності населення і т. ін.

В економіці вельми поширені процеси, для яких характерне на початку повільне зростання, а далі, з часом, воно прискорюється і наприкінці — спадає, наближаючись до певної межі (асимптоти).

Наприклад, попит на нову продукцію, яка ще недавно була дефіцитною, у міру зростання її виробництва починає поволі спадати і зупиняється на певному рівні, наближаючись до асимптоти.

Для описування таких економічних явищ використовуються логістичні криві різного виду:

11.5.2. Методи вибору форми тренду. Вибір апроксиму-

ючої кривої, як правило, відбувається вже за згладженим рядом. Існує кілька підходів до вибору форми кривої, що адекватна

заданому динамічному ряду.

Найпростіший перший шлях — візуальний, тобто вибір форми тренду на основі графічного зображення динамічного ряду. На результат вибору впливає масштаб графічного зображення.

Графіки різних кривих зростання наведено на рис. 11.5. За графіком і за результатами теоретичного аналізу даної тенденції можна передбачити характер тієї чи іншої динаміки економічного процесу.

21

Обчислення проводяться доти, доки різниці не будуть майже однаковими. Порядок рівності таких різниць беруть за степінь многочлена для вирівнювання основної тенденції динаміки. Якщо перші різниці майже рівні, тренд описують прямою; якщо однакові значення мають другі різниці, динаміку вирівнюють па-

раболою другого порядку і т. д.

Третій спосіб полягає в тому, що за критерій вибору форми тренду беруть суму квадратів відхилень значень рівнів від розрахункових, здобутих на основі вирівнювання часового ряду. Із множини функцій вибирають таку, якій відповідає мінімальне значення цього критерію.

Четвертий спосіб — метод характеристик приростів — полягає в тому, що вибір форми кривої відбувається за попередньою статистичною обробкою динамічного ряду.

Попередня обробка складається з таких етапів:

1)згладжування часового ряду методом ковзної середньої;

2)обчислення середніх приростів для згладженого ряду;

3)обчислення похідних характеристик приростів. Згладжування часового ряду ковзною середньою дає можли-

вість «грубо» згладити тенденцію зміни ряду — тренд; 4) далі визначають середні прирости і їхні похідні характерис-

тики (табл. 11.6)

Зауважимо, що вибір кривої зростання, навіть за табл. 11.6, потребує копіткого аналізу. Як правило, це рішення неоднозначне. Воно зводиться до одержання кількох альтернатив вибраної кривої. Далі за допомогою специфікації потрібно вибрати найкращий варіант, використовуючи певний кількісний критерій.

Таблиця 11.6

23

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗМІНИ ПОКАЗНИКІВ СЕРЕДНІХ ПРИРОСТІВ ДЛЯ ДЕЯКИХ ВИДІВ ФУНКЦІЙ

11.5.3. Розрахунок параметрів кривих зростання методом найменших квадратів. Після того як було вибра-

но апроксимуючу модель (криву зростання), розглянемо методи визначення параметрів кривих зростання.

Параметри поліноміальних кривих оцінюються, як правило,

методом найменших квадратів (1МНК). Цільовою функцією тут буде мінімізація суми квадратів відхилень фактичних рівнів ряду від відповідно вирівняних за певною кривою зростання.

З попередніх розділів (розд. 2; 4) відомо, що згідно з цим методом необхідно розв’язати систему нормальних рівнянь, яка може мати різну кількість параметрів залежно від виду функції зростання. Пояснювальною змінною в цих рівняннях буде змінна часу t. Розв’язуючи цю систему нормальних рівнянь відносно параметрів a0, a1,… ар, знаходимо їхні оцінки.

Наведемо системи нормальних рівнянь для різних видів функцій.Пряма yt=a0+a1t+ut, де ut — випадкова складова (залиш-

ки), яким відповідають припущення 1 МНК (див. розд. 4).

24

 — вектор-стовпець розміром m 1 оцінок параметрів функції зростання.

Розв’язуючи систему нормальних рівнянь відносно Â, знаходимо його значення

 = (T T)–1 T Y.

Параметри експоненційних і S-подібних кривих відшукуються складнішими методами.

Так, для простої експоненти

ŷt = abt

спочатку прологарифмуємо:

lgŷt = lga + tlgb — дістали лінійно-логарифмічну функцію. Позначивши lgŷt = lga = а*; lgb = b*, дістанемо лінійну

функцію

yt* = а* + b*t + ut.

Наведемо систему нормальних рівнянь для цієї функції:

na* b* t yt*;a* t b* t2 yt*t.

Розв’язавши цю систему нормальних рівнянь, знайдемо a* і b*. Застосуємо формули розрахунку параметрів для простої регресії:

Визначаючи параметри кривих зростання, що мають асимптоти (модифікована експонента, крива Гомперця, логістичні криві), розрізняють два випадки. Якщо значення асимптоти k відоме раніше, то логарифмуванням і нескладними перетвореннями формул складаємо системи нормальних рівнянь, де невідомими є логарифми параметрів кривої.

Наприклад, нехай необхідно знайти параметри модифікованої експоненти ŷt=k+abt, де k — асимптота, значення якої відоме.

Перенесемо значення k в ліву частину й, прологарифмувавши вираз yt–k=abt, дістанемо: lg(yt–k)=lga+t lgb.

Позначимо lg(yt–k)=y*; lga=а*; lgb=b*.

26

Тоді yt*=а*+tb*, тобто функцію перетворили на лінійнологарифмічну.

Запишемо для неї систему лінійних рівнянь:

na* b* t yt*;a* t b* t2 yt*t.

Отже, розв’язок системи дістанемо як у випадку функції простої експоненти.

У разі, коли значення асимптоти k невідоме, для знаходження параметрів зазначених кривих зростання використовують наближені методи: метод трьох точок, метод трьох сум і т. ін. [1].

Приклад 11.6. За одинадцять років (1991—2001) відомі дані випуску гранульованого фосфату підприємствами України. Припускаючи, що випуск продукції відбувається за простою експонентою ŷt=a10bt=a(1+r)t, розрахувати параметри кривої зростання; визначити середньорічний приріст і коефіцієнт варіації випуску продукції.

Вихідні дані і розрахунки відповідних величин наведено в табл. 11.6.

Оцінимо параметри кривої зростання ŷt = a10bt. Прологарифмуємо функцію: lg ŷt = lga +bt.

Позначимо lg ŷt = yt* ; lga = а*. Складемо систему нормальних рівнянь

na* b t t0 yt*;

a* t t0 b* t t0 2 yt* t t0 ,

або, якщо t0=6, маємо

З першого рівняння: â* = lgâ = 2,0426; отже, â = 110,04.

З другого рівняння €=0,0406. b

Згідно з цим крива зростання має вигляд:

ŷt = 110,04 · 100,0406t = 110,04(1 + 0,098)t.

Отже, дістали функцію зростання за законом складних процентів із річним приростом продукції 9,8%.

27