Econometrics

Скориставшись функцією програми «Exсel» «ЛИНЕЙН», знайдемо оцінки параметрів:

Отже, економетрична модель прибутку у степеневій формі на-

бирає вигляду Y 1,045X10,495 X 2 0,108 X 31,10 .

Як бачимо, економетрична модель прибутку в лінійній формі відрізняється від моделі у степеневій формі. Ця різниця полягає передусім у тому, що оцінки параметрів в обох моделях мають різний економічний зміст.

a€1,a€2 ,a€3 характеризують граничний приріст прибутку залежно від граничного приросту кожного ресурсу на одиницю (коли решта — сталі) і в тих одиницях, в яких вони подаються у вихідній інформації.

У степеневій моделі оцінки параметрів a€1, a€2 , a€3 характеризу-

ють кількісний зв’язок між прибутком та відповідно кожним ресурсом у відносному (відсотковому) виразі — еластичність. Тому

108

їх потрібно тлумачити так: якщо інвестиції зростуть на 1%, а основні виробничі фонди і фонд робочого часу не зміняться, то прибуток зросте на 0,495% a€1 0,495 ; якщо основні виробничі

фонди зростуть на 1%, а решта ресурсів буде сталою, то прибуток зменшиться на 0,108% a€2 0,108 ; і, нарешті, якщо фонд

робочого часу зросте на 1%, і решта ресурсів буде сталою, то прибуток зросте на 1,1% a€3 1,1 .

Зміну напряму взаємозв’язку між прибутком та основними виробничими фондами у степеневій моделі можна пояснити особливостями статистичної інформації (можлива мультиколінеарність, автокореляція, про які йтиметься далі).

4.6. Коваріаційна матриця оцінок параметрів моделі

За допомогою коваріаційної матриці розраховуються основні показники випадкового розсіювання оцінок a€j навколо відповід-

із математичним сподіванням застосовуються також дисперсія2a€j і коваріація a€ja€k (j k). Істинні (справжні) значення цих па-

раметрів класичної економетричної моделі утворюють диспер-

сійно-коваріаційну матрицю

109

вуються для знаходження стандартних похибок та обчислення довірчих інтервалів оцінок параметрів a€j . Вони використовують-

ся й під час перевірки їхньої статистичної значущості.

сій €2a€j j-ї оцінки параметрів, що ж до елементів €a€ja€k (j k), які розміщені поза головною діагоналлю, то вони є оцінками коварі-

де €u2 — незміщена оцінка дисперсії залишків;

Зауважимо, що матриця коваріації оцінок параметрів моделі характеризує також ступінь їх випадкового розсіювання, який обчислюється, як значення детермінанта коваріаційної матриці cov(A).

узагальненою дисперсією, яка кількісно характеризує ступінь випадкового розсіювання значень векторної випадкової величини навколо свого середнього у відповідному багатовимірному просторі:

Часто використовується й інша характеристика цього випадкового розсіювання значень багатовимірної випадкової величини —

слід коваріаційноїматриці tr:

110

агональних елементів 2a€j , можна стверджувати, що величини,

які визначені співвідношеннями (4.14) і (4.15), завжди додатні. Чим більше значення знайдених характеристик (детермінанта, сліду дисперсійно-кореляційної матриці), тим більша загальна варіація оцінок параметрів моделі).

Ступінь тісноти взаємозв’язку між окремими оцінками пара-

метрів моделі a€ і a€ вектора € краще визначати на основі кое-

k j A

фіцієнта кореляції, який, у свою чергу, визначається через елемен-

Усе це говорить про те, що коваріаційна матриця вектора оцінок параметрів моделей містить досить важливу інформацію про їхню якість.

Незміщена оцінка дисперсії залишків розраховується так:

де n — кількість спостережень; m — кількість змінних у моделі.

Звідси маємо альтернативну форму запису дисперсії залишків:

111

112

var (a€3 ) €2a€3 €u2c33 = 68,92 0,0165 = 1,137.

3. Обчислимо коваріації відповідних оцінок параметрів:

Знак «мінус» перед оцінками коваріацій у€a€ja€k указує на те, що

зі збільшенням однієї оцінки параметрів інша зменшується в середньому і навпаки.

Отже, дістанемо дисперсійно-коваріаційну матрицю

4. Запишемо стандартні похибки оцінок параметрів моделі:

Sa€j cov (a€j ) ;

Sa€1 21,64 4,65 ;

Sa€2 0,00207 0,0455 0,046 ;

Sa€3 1,137 1,066 .

Стандартні похибки характеризують середні лінійні коливання оцінок параметрів моделі навколо свого математичного сподівання. Чим менші ці похибки, тим стійкіші оцінки параметрів моделі. Остаточні висновки стосовно стійкості оцінок можна зробити лише тоді, коли порівняти її з абсолютними значеннями оцінок параметрів моделі.

Порівняємо кожну стандартну похибку Sa€j з відповідним число-

вим значенням оцінки параметра, тобто знайдемо відношення Sa€j : a€j

113

Отже, стандартні похибки оцінок параметрів щодо рівня самих оцінок становлять відповідно 52,8%, 23% і 15%, а це свідчить про зміщеність оцінок.

Це означає, що залишки можуть мати систематичну складову, яка зумовлюється неточною специфікацією моделі. Наприклад, не всі основні чинники, що впливають на тижневі витрати, пов’язані з харчуванням (скажімо, ціни на продукти харчування) внесено до моделі.

4.7. Прогноз залежної змінної

Економетричне моделювання зв’язку між економічними показниками завжди складаєтьмя з трьох етапів:

1)побудови економетричної моделі;

2)перевірки статистичної значущості моделі та оцінювання її параметрів;

3)прогнозування на основі моделі.

Використаємо модель (4.1) для знаходження прогнозного значення y0, яке відповідатиме очікуваним значенням матриці незалежних змінних X0.

Розглянемо спочатку точковий прогноз і припустимо, що ми визначили його як деяку лінійну функцію від yi:

114

де Х0 — матриця очікуваних значень пояснювальних змінних. Задаючи X0, підставимо значення цього вектора в побудовану

економетричну модель

Щоб дістати інтервальний прогноз, необхідно розрахувати середню похибку прогнозу.

Вона зростає з віддаленням прогнозного значення x0 j від від-

повідного середнього значення вибірки. Розрахуємо спочатку дисперсію прогнозу.

Уматричномувиглядідисперсіяпохибкипрогнозуподаєтьсятак:

Середньоквадратична похибка прогнозу

Довірчий інтервал для прогнозних значень

де t — критичне значення t-критерію при n–m ступенях свободи і рівні значущості .

Отже, інтервальний прогноз індивідуального значення визначається як

y€0 t €пр i y€0 y€0 t у€пр i

або

115

Приклад 4.4. Необхідно розрахувати для економетричної моделі (приклад 4.1) точковий та інтервальний прогнози математичого сподівання та індивідуального значення залежної змінної, коли для прогнозного періоду заданий вектор

1 . X 0 5006

Розв’язання. 1.Визначимо точкові прогнозні значення залежної змінної, коли

Отже, y0 можна інтерпретувати як точкову оцінку прогнозного значення математичного сподівання та індивідуального значення витрат на харчування, коли відомі загальні витрати x1=500 і розмір сім’ї становить x2=6.

2. Визначаємо прогнозний інтервал математичного сподівання

M y€0 :

116

3. Знайдемо інтервальний прогноз для M y€0 . При цьому не-

хай =0,05 і n–m = 13; тоді t0,05=2,160.

Отже,

y€0 t у€пр M ( y0 ) y€0 t €пр

і

150,62 – 2,160 21,95 M ( y0 ) 150,62 + 2,160 21,95; 150,62 – 47,412 M ( y0 ) 150,62 + 47,412;

103,208 M ( y0 ) 198,032.

4. Обчислимо дисперсію і стандартну похибку прогнозу індивідуального значення y0 :

у2пр(i) 2n u2 481,777 68,92 550,697 .

Стандартнапохибка прогнозу індивідуального значення y0 така:

пр(i) 2пр(i) 550,697 23,467 .

5.Визначимо інтервальний прогноз індивідуального значення y0:

y€0 t упр(i) y0 y€0 t пр(i) ;

150,62 – 2,160 23,467 y0 150,62 + 2,160 23,467; 150,62 – 50,689 y0 150,62 + 50,689;

99,931 y0 201,309.

Значення t знаходимо в таблиці при = 0,05 і ступені свободи = 13. У такому разі t0,05=2,160.

Отже, з імовірністю р = 0,95 ( = 0,05) прогноз математичного сподівання М(y0) потрапляє в інтервал [103,208; 198,032], а прогноз індивідуального значення — в інтервал [99,931; 201,309].

Можна також сказати, що з імовірністю р = 0,95 знайдені прогнози покривають М(y0) і y0, коли взяти досить велику кількість вибірок і для кожної з них обчислити інтервальні прогнози.

Економічна інтерпретація: якщо у прогнозному періоді загальні витрати мають рівень 500 одиниць, а сім’я складається з шести осіб, то середні витрати на харчування потрапляють в інтервал

103,208 M ( y0 ) 198,032.

117